Методические указания рассмотрены и рекомендованы методическим семинаром кафедры общей физики 2000 г (стр. 2 из 12)
Начнем формулировку правила нахождения направления магнитной силы в этом параграфе, а закончить придется в следующих. Сначала дадим определение вектора силовой характеристики магнитного поля – индукции магнитного поля, В.
Аналогично тому, как было введено понятие напряженности электрического поля, мы поступим и для магнитного поля. (Вводя напряженность электрического поля мы «убрали» из формулы для кулоновской силы то, что относится к пробному заряду – q2 (собственно, убрали из формулы для силы электростатического взаимодействия второй заряд), и оставили то, что создает и характеризует поле – первый заряд – q1, и расстояние до исследуемой точки – r.)
Сравнивая электростатическое и магнитное поля, мы приходим к выводу, что напряженности электрического поля аналогична величина, названная индукцией магнитного поля - B.
По закону Био-Савара-Лапласа вектор B в некоторой точке пространства равен векторному произведению двух векторов Jdl (этот вектор направлен вдоль dl в сторону прохождения тока J) и r (который направлен от элемента контура с током dl к исследуемой точке и по модулю r равен расстоянию между этими двумя точками) – соотношение (4).
. (4)Размерность величины В введем ниже.
Полезная аналогия в изучении двух типов полей оказывается нарушенной по формальному признаку. Дело в следующем. Поле удобно исследовать с помощью графического изображения так называемых силовых линий.
Силовой линией называется линия, касательная к каждой точке которой совпадает с направлением силы, действующей на пробный заряд (электростатическое поле) или пробную рамку с током (магнитное поле).
Для изображения модуля возникающей при этом величины (E или B) через единицу площади поверхности перпендикулярной силовым линиям проводят такое число силовых линий, которому численно равна напряженность в этой области пространства. Анализируя правило задания модуля напряженности электрического поля и индукции магнитного, можно заметить, что силовые линии изображающие эти величины, должны прерываться на границе раздела двух сред, поскольку константы входящие в определения этих величин входят параметры среды x и m (и модули величин в разных средах будут разными).
Для теоретических изысканий при поиске общих закономерностей поведения полей иногда удобнее иметь дело с величинами, силовые линии которых не прерываются при переходе из среды в среду. Поэтому из соображений удобства для характеристики полей ввели еще две величины – индукцию электрического поля – D, и напряженность магнитного поля – H, которые в явном виде не зависят от свойств среды.
D=xx0E;
; (5)H=mm0B;
; (6)Размерность величины Н введем позже.
В соответствии с требованиями научной аналогии надо бы было назвать индукцию магнитного поля напряженностью и наоборот - напряженность индукцией магнитного поля. Но такие «перекрещенные» названия в электричестве и магнетизме сложились исторически, ученые к ним «привыкли», и в науке не нашлось авторитетного ученого, которому захотелось бы прекратить эту «путаницу».
2.3. Принцип суперпозиции магнитных полей
Общий принцип суперпозиции работает и для сил магнитного поля. Эксперимент показывает, что индукция поля магнитной силы в некоторой точке пространства равна геометрической сумме векторов индукции, созданных в этой точке всеми отдельными отрезками проводников с током, образующими исследуемый контур.
Если нам известны величины и направления векторов магнитной индукции от каждого из отрезков, образующих контур, то
B= B1+ B2+ … + Bi+ …. Bn (7)
результирующее значение вектора индукции в некоторой точке равно векторной сумме индукций, создаваемых в этой точке отдельными отрезками контуров с током. В частности, когда длины отрезков контуров берутся бесконечно малыми, то
(8)Часто контуры оказываются такими, что направления векторов dB от каждого Jdl одинаковыми и мы находим интегральную сумму модулей элементарных индукций:
(9).2.4. Нахождение числовых значений В и Н - силовых характеристик магнитных полей токов, текущих по проводникам правильной геометрической формы
Применим соотношения (4), (6), (8) и (9) для расчета силовых характеристик полей, создаваемых контурами проводников ничтожно малого сечения: а) кругового проводника с током, б) прямолинейным отрезком проводника с током конечной длины и в) бесконечно длинным проводником с током. Вывод соотношений а), б), в) можно рассматривать, как примеры решения задач.
а) Найти вектор индукции магнитного поля – В, кругового проводника радиуса R, обтекаемого током J на его оси (рис. 1).
Разобьем проводник с током на бесконечно малые отрезки dl. Можно проверить, что для всех отрезков dl индукция, создаваемая протекающими в них токами, направлена вдоль образующей конуса, имеющего линейный угол при вершине, такой, что a/R=tgb (рис.1).
(Вспомните, что векторное произведение двух векторов перпендикулярно плоскости, в которой лежат эти вектора.) Для того, чтобы выяснить в какую сторону вдоль этого перпендикуляра направлен вектор магнитной индукции, удобнее (удобнее чем общим правилом определения направления векторного произведения) воспользоваться правилом буравчика. Далее, закручиваем правый винт (буравчик) ориентированный вдоль тока так, чтобы конец его ручки в первый момент движения совпал с точкой А. В какую сторону начнет двигаться ручка буравчика в первый момент движения, в ту же сторону вдоль перпендикуляра к плоскости векторов r и dl и направлен искомый вектор.)
 |
Рис. 1
На рис. 1 вектор магнитной индукции направлен от витка. Не трудно проверить, что если бы ток шел в другую сторону, то вектор магнитной индукции был бы направлен к витку. Определив направления векторов всех элементарных индукций dB, найдем направление и модуль суммарного вектора B.
Из условий однородности материала витка, постоянства тока и высокой симметрии геометрии задачи, очевидно, что для каждого dBi, созданного элементом dli, найдется симметрично расположенный элемент dlj, такой, что созданная им магнитная индукция dBj в сумме с dBi даст вектор, направленный вдоль оси (см. рис. 1).
В аналитической геометрии доказана теорема о том, что если известно направление результирующего вектора – суммы нескольких векторов, то эта результирующая сумма равна сумме проекций всех слагаемых на это направление. Воспользовавшись этой теоремой, замечаем, что проекция каждого из слагаемых dBi равна
B=
dBi= 
. (10)Как видно из рис. 1, sina=1 (угол между касательной к окружности и направлением на точку А для каждого dl равен 900), Cosb=R/(R2+a2)1/2, r2= R2+a2. Подставляя соответственные значения величин в (9), получим,
B =
.И, наконец, взяв интеграл, придем к окончательному выражению для индукции кругового тока на его оси:
B =
(11)В центре кругового тока, когда a=0, получим соотношение
B=
соответственно (см. 6) H= 
(12)Направление вектора B показано на рисунке.
Задача решена.
б) Нахождение магнитного поля прямолинейного проводника конечной длины, обтекаемого током J (рис. 2)
Для проводника известной длины относительно любой точки А вблизи него нетрудно измерить величины r0, a1a2, будем считать эти величины заданными. Все элементы Jdli и ri лежат в одной плоскости, которая образована отрезком l с током I – и радиусом-вектором, r0. Для того, чтобы определить в какую сторону вдоль перпендикуляра к этой плоскости направлен вектор магнитной индукции – к нам или от нас, воспользуемся правилом буравчика (см. с. 9).
На рис. 2 вектор магнитной индукции направлен от нас за чертеж, такое положение вектора мы будем отмечать на чертеже кружком с перекрестием внутри расположенным рядом с вектором - + B. Не трудно проверить, если бы ток шел в другую сторону, то вектор магнитной индукции был бы направлен к нам, мы пометили бы его на чертеже кружком с точкой внутри – · B.
Определив направление вектора, найдем его модуль. В предыдущих параграфах было рассмотрено соотношение для расчета магнитной индукции, создаваемой бесконечно малым отрезком проводника. Воспользовавшись соотношением (9). (Направления dBi от каждого элемента dl одинаковы. Проверьте по правилу буравчика!).