Сборка конечных элементов в единый ансамбль (конечно-элементную модель стержневой системы) производится в неподвижной системе, чаще всего декартовых координат. Рассмотрим возможные способы пересчета перемещения стержня из локальных в глобальные координаты.
Взаимное расположение двух систем координат характеризуется одним параметром
`u = ux`x0 + uh`h0 = ux`x0 + uy`y0
ux = ux`x0 × `x0 + uy`y0 ×`x0 | × `x0
uh = ux`x0 × `h0 + uy`y0 ×`h0 | × `h0
В матричной форме это уравнение имеет вид:
`u(л) = [cos]`u(г)
(3.3.9) [cos] – матрица направляющих косинусов в глобальной и локальной системе координат. Для пересчета вектора узловых перемещений в глобальные координаты отметим, что он составляется из векторов перемещений узлов, следовательно, каждый из этих векторов должен преобразовываться независимо от другого. [10] Тогда матрица преобразования вектора узловых перемещений будет блочно-диагональной
(3.3.10)Здесь n, n+1 – номера узлов конечного элемента; диагональные подматрицы определены формулой (3.3.9). Для прямого стержня диагональные подматрицы одинаковы, для криволинейного стержня могут быть разными. Тогда формула пересчета вектора узловых перемещений из локальных координат в глобальные может быть записана следующим образом
(d`qг)T[сos]T{[K][сos]`qг -`Rл} = 0
(d`qг)T{[Kг]`qг - `Rг} = 0
Последнее выражение переводит матрицу жесткости с индексом m из локальных в глобальные координаты.
Матрица жесткости одного конечного элемента имеет вид (см. Приложение 1)
(3.3.11)Эта формула пересчитывает вектор узловых нагрузок из локальных в глобальные координаты.
Вектор узловых нагрузок имеет следующий вид:
Разрешающее уравнение МКЭ в глобальных координатах
– система равновесия (или движения) узлов конечных элементов в проекциях на оси глобальной системы координат.Для конечного элемента стержня в пространственной системе координат рассуждения полностью сохраняются; отличия заключаются в том, что и локальная и глобальная системы координат являются трехмерными и исходным для вывода матрицы направляющих косинусов является тождество
ux`x0 + uh`h0 + uV`V0 = ux`x0 + uy`y0 + uz`z0.
ux = ux`x0 × `x0 + uy`y0 ×`x0 + uz`z0 ×`x0
uh = ux`x0 × `h0 + uy`y0 ×`h0 + uz`z0 ×`h0
uz = ux`x0 × `z0 + uy`y0 ×`z0 + uz`z0 ×`z0
Скалярное произведение единичных векторов локальных и глобальных координат могут быть выражены через три независимых угла Эйлера. [10]
Используем матрицу направляющих косинусов, имеющую следующий вид (здесь углы Эйлера обозначены через j, y, q): [8]
Матрица перехода от локальных координат к глобальным для криволинейного стержня будет иметь вид
где
- вектор узловых перемещений в локальных координатах. 
= 
- вектор узловых перемещений в глобальных координатахЗдесь u, v, w – компоненты вектора перемещений, j - угол закручивания,
- углы поворота поперечного сечения относительно главных центральных осей инерции, N – продольная сила, Qy, Qz – поперечные силы, Мx, My, Mz – моменты.Если соединение конечных элементов в ансамбль осуществляется по всем степеням свободы узлов и деформации системы малы, то матрицу направляющих косинусов можно считать постоянной; в противном случае необходимо учитывать возможность конечных поворотов локальной координатной системы относительно глобальной. В этом случае в качестве независимых параметров, определяющих взаимную ориентацию координатных систем вместо углов Эйлера удобнее использовать параметры Родрига-Гамильтона.
Удобство заключается в том, что упомянутые параметры связаны с угловой скоростью вращения локальной координатной системы относительно глобальной квазилинейным дифференциальным уравнением первого порядка. [30]
3.6 Алгоритм составления матричных характеристик ансамбля конечных элементов.
Термин «ансамбль конечных элементов» обозначает объединение отдельно взятых конечных элементов в единое целое – модель изучаемого тела.
Так как разрешающее уравнение МКЭ имеет смысл уравнения равновесия, то такое объединение в рамках метода перемещений осуществляется по кинематическому принципу: предположим, что в одном узле с глобальным номером М сходятся несколько конечных элементов с номерами ni, i = 1, 2, … Если этот узел – общий для всех конечных элементов, то и компоненты его перемещений в глобальной координатной системе не зависят от номера конечного элемента. [11]
Математически это условие можно написать так:
(Простейшим примером такого объединения является объединение двух прямолинейных стержней в один при одноосном растяжении/сжатии).
Сформулируем алгоритм формирования матричной характеристики ансамбля конечных элементов. С этой целью введем информационные массивы, описывающие сетку конечных элементов. Матрицу координат узлов XYZ, у которой столько строк, сколько узлов в сетке и столько столбцов, сколько независимых компонент по векторам перемещения, и матрицу связей, у которой столько строк, сколько узлов в конечном элементе и столько столбцов, сколько конечных элементов в ансамбле. Размеры матриц будем считать известными.
XYZ: Ny ´ nссу
Con: nуз ´ NкэКроме этого предполагают известными характеристики материалов.
M = Nуз × Nссу
При решении задач статики в уравнение Лагранжа не входит работа внешних сил на перемещение ансамбля как абсолютно твердого тела. Вследствие этого, матрица жесткости ансамбля имеет ранг
r = M = Nуз × Nссу - NAT
где NAT – число степеней свободы абсолютно твердого тела (для плоской задачи NAT = 3, для пространственной задачи NAT =6).
Из физического смысла компонент матрицы жесткости следует положительность диагональных коэффициентов и из теоремы взаимности перемещения – симметрии матрицы. Ранг матрицы жесткости равен разности между количеством степеней свободы конечных элементов (количество компонент вектора узловых перемещений) и количеством степеней свободы конечных элементов как абсолютно твердого тела. 
Все приведенные рассуждения относились к локальной координатной системе, связанной с конечными элементами.