Если установлено однозначное соответствие между номерами многогранников и номерами узлов, которые являются их вершинами, то говорят, что определена сетка конечных элементов. [6]
Переход от непрерывного тела к его конечно-элементной модели осуществляется путем выбора способа определения некоторой искомой функции в произвольной точке объема по ее значениям в узлах.
Функции, которые осуществляют эту интерполяцию, называют функциями формы. Основное отличие метода конечных элементов от других численных методов заключается в том, что интерполяция осуществляется только по узлам, принадлежащим конечному элементу. 
(3.1.1)Функции формы, реализующие кусочную интерполяцию, наделяют следующими свойствами:
1) функции формы должны принадлежать множеству функций, интегрируемых в пределах конечного элемента.
2) функция формы с определенным номером К должна принимать значение, равное 1, в этом узле и равное 0 во всех других узлах. [1]
vk (xk, yk, zk) = 1;
vk (xi, yi, zi) = 0.
3) функция формы должна быть однозначной в пределах объема конечного элемента.
Если производится интерполяция с помощью некоторой функции, для которой не выполняется условие 2), но выполняются условия 1) и 3), то эту так называемую аппроксимирующую функцию следует нормировать, составляя систему уравнений.
Для определения значений функции в узлах в рамках МКЭ используются различные функционалы, минимум которых соответствует реальному значению искомой функции. Таким функционалом может быть невязка между строгим решением уравнения равновесия и приближенным решением; невязка между значениями функции на границе и заданными краевыми условиями.
Вариационный функционал Лагранжа (принцип возможных перемещений), вариационный функционал Кастильяно (принцип минимума дополнительной работы) и т. д. [6]
Выбор вариационного функционала определяет модификацию МКЭ: если используются функционалы невязки между значениями функции на границе или некоторыми дифференциальными операторами над ней в объеме, то МКЭ можно считать дискретным вариантом метода Бубнова-Галеркина. Если используется функционал Лагранжа, то МКЭ можно трактовать как вариант метода Ритца. [24]
Функции формы:
Растяжение/сжатие, кручение -
, где 
, изгиб - 
3.4 Вариационный принцип Лагранжа.
Теоретическая основа МКЭ базируется на известном принципе возможных перемещений Лагранжа, который формулируется так: «если система материальных точек находится в равновесии, то работа всех приложенных к ней сил на любых возможных бесконечно малых отклонений от положения равновесия равна нулю». [16]
Использовать принцип Лагранжа целесообразно потому, что в задаче динамики присутствуют силы инерции, которые определяются через перемещения.
(безразмерная величина) 
(3.2.1) 
3.2.2) В трехмерном случае: 
Элементарная работа внутренних сил:
В последней формуле символ «d» обозначает кинематически допустимую вариацию, т.е. произвольно изменяется поле перемещений на бесконечно малую величину d`u, причем кинематчески краевые условия (ограничения на перемещение некоторых точек тела) остаются справедливыми как для вектора перемещений `u, так и для его вариации.
При малых деформациях объем, по которому производится интегрирование, можно считать неизменным, и поменять местами символы интегрирования и варьирования.
Если выполняется обобщенный закон Гука, то подынтегральное выражение есть квадратичная форма по компонентам деформации:
sij eij = Ckmij ekm eij, тогда
(3.2.3)Работа внутренних сил:
(3.2.4)Элементарную работу внутренних сил для упругого тела отождествляют с потенциальной энергией деформируемого состояния. [11]
Если к телу приложены внешние массовые, поверхностные и сосредоточенные силы, то они совершают работу на перемещениях точек, лежащих внутри тела и на его границах.
Если задана кинематически допустимая вариация d`u, то элементарная работа внешних сил вычисляется по формуле:
(3.2.5)Векторы `rm есть радиус-векторы точек приложения сосредоточенных сил `Pm.
Если пренебречь эффектами выделения тепла при деформировании и считать процесс деформации адиабатическим, то элементарные работы внешних и внутренних сил равны между собой. Тогда вариационное уравнение принимает вид:
(3.2.6)Представленная общая форма принципа возможных перемещений может быть модифицирована путем принятия некоторых кинематических и статических гипотез. В частности для стержней гипотеза Бернулли приводит к тому, что из всех слагаемых, определяющих потенциальную энергию деформаций ненулевым становится только одно, определяющее деформацию растяжения/сжатия волокон, параллельных оси стержня. [3]
В связи с тем, что принятие этой гипотезы приводит к линейному распределению перемещений по площади поперечного сечения, а также к линейному распределению деформаций, то можно вычислить интегралы по площади поперечного сечения.
Тогда вариационное уравнение будет содержать только интеграл по длине стержня
(3.2.7)Все слагаемые с поперечными координатами в первой степени и их произведениями уничтожаются при интегрировании, т.к. выбранная система координат есть главная центральная система поперечного сечения. [11]
В теории стержней помимо сосредоточенных сил рассматриваются сосредоточенные моменты. Дополним выражением вариационного принципа возможной работой сосредоточенных моментов Мx, Мy, Мz [Н-м]
Окончательно принцип возможных перемещений для стержня следует записать в виде:
(3.2.8) В последней формуле px, py, pz – компоненты нагрузки, распределенной вдоль оси стержня; mx, my, mz – компоненты момента, распределенного вдоль оси стержня, хk – точка приложения сосредоточенных сил и моментов Рхk, Руk, … Мzk. 