1. 1 Биомеханика (стр. 5 из 13)
3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ.
Разбиение области на подобласти представляет собой первый шаг на пути к решению задачи, и именно этот шаг не имеет теоретического обоснования. Искусство разбиения области зависит от имеющихся инженерных навыков. Плохое или несовершенное разбиение будет приводить к ошибочным результатам, если даже остальные этапы метода осуществляются с достаточной точностью.
Дискретизация области (тела) включает задание числа, размеров и формы подобластей, которые используются для построения дискретной модели реального тела. Как инженеры мы сталкиваемся при этом с довольно деликатной ситуацией. С одной стороны, элементы должны быть выбраны достаточно малыми, чтобы получались приемлемые результаты, а с другой стороны, применение достаточно крупных элементов сокращает вычислительную работу. Нужно иметь некоторые общие соображения об окончательных значениях, с тем, чтобы можно было уменьшить размеры элементов в тех областях, где ожидаемый результат может очень сильно меняться (большие величины градиентов), и увеличить их там, где ожидаемый результат почти постоянен.Навыки в дискретизации области приходят с опытом. Однако некоторые общие правила можно сформулировать. Эти правила и некоторые советы относительно дискретизации и обсуждаются в этой главе. [18]
Простейшим среди элементов является одномерный элемент. Схематически он обычно изображается в виде отрезка, хотя и имеет поперечное сечение. Площадь поперечного сечения может изменяться по длине, но во многих встречающихся задачах она считается постоянной. Наиболее часто такой элемент используется в одномерных задачах распространения тепла и в задачахстроительной механики при расчете стержневых элементов конструкций (типа ферм). [6]Простейший одномерный элемент имеет два узла, по одному на каждом конце. Элементы более высокого порядка, трехузловые (квадратичные) и четырехузловые (кубические). Одномерный элемент может быть криволинейным при условии, что длина дуги входит в уравнения, определяющие элементы.
3.2 Разбиение области на элементы. Симплекс-элемент.
Процесс дискретизации может быть разделен на два этапа: разбиение тела на элементы и нумерация элементов и узлов. Последний этап логически совершенно прост, но усложняется в связи с нашим желанием повысить эффективность вычислений.
Дискретизация одномерного тела почти тривиальна, так как она сводится только к делению отрезка на более короткие участки. При решении задач методом конечных элементов используются разнообразные элементы. Линейный одномерный элемент с двумя узлами относится к группе симплекс-элементов. [1]
Метод конечных элементов основан на идее аппроксимации непрерывной функции (температуры, давления, перемещения и т. д.) дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей, называемых элементами. В качестве функции элемента чаще всего применяется полином. Порядок полинома зависит от числа используемых в каждом узле элемента данных о непрерывной функции.
Классификация конечных элементов может быть проведена в соответствии с порядком полиномиальных функций этих элементов. При этом рассматриваются три следующие группы элементов: Симплекс-, комплекс- и мультиплекс-элементы. Симплекс-элементам соответствуют полиномы, содержащие константу и линейные члены. Число коэффициентов в таком полиноме на единицу больше размерности координатного пространства. Полином представляет собой симплексную функцию для двумерного треугольного элемента. Этот полином линеен по х и у и содержит три коэффициента, потому что треугольник имеет три узла.
(3.1)Симплекс-элемент представляет собой прямолинейный отрезок длины L с двумя узлами, по одному на каждом конце отрезка. Узлы обозначаются индексами i и j, узловые значения — через
и 
соответственно.Начало системы координат располагается вне элемента. Полиномиальная функция
для скалярной величины[1] имеет вид 
. (3.2)Коэффициенты
и 
могут быть определены с помощью условий в узловых точках: 
при 
, 
при 
.Эти узловые условия приводят к системе двух уравнений
, 
,решение которой дает
3.3)и
(3.4)Подставляя найденные значения
и в формулу (3.3), получаем для 
выражение, которое может быть переписано в виде 
. (3.5)Линейные функции от х в формуле (3.5) называются функциями формы или интерполяционными функциями. Эти функций всюду обозначаются через N. Каждая функция формы должна быть снабжена нижним индексом для обозначения узла, к которому она относится. Произвольную функцию формы будем обозначать через
. В соотношение (3.5) входят следующие функции формы: 
и 
.Соотношение (3.5) может быть записано в матричном виде
, (3.6)где
—матричная строка и 
—вектор-столбец. Как видно из формулы (3.5), функция 
равна единице в узле с номером i и равна нулю в j-м узле. Аналогично функция 
равна нулю в i-м узле и равна единице в узле с -номером j. Эти значения характерны для функций формы. Они равны единице в одном определенном узле и обращаются в нуль во всех других узлах. [1], [7]Уравнения метода конечных элементов: теория упругости.
Наша конечная цель — получить для узловых величин такие числовые значения, при которых соотношения для элементов очень точно аппроксимируют некоторый важный физический параметр. В задачах теории поля (перенос тепла, течение грунтовых вод, расчет магнитных полей и др.) минимизировался некоторый функционал. Этот функционал обладает тем свойством, что любая минимизирующая его функция удовлетворяет как исходным дифференциальным уравнениям, так и граничным условиям. Окончательные результаты, как для задач теории поля, так и для задач теории упругости, представлены в виде поверхностных и объемных интегралов, которые вычисляются при рассмотрении конкретных областей применения. [14]
Решение задач теории упругости может быть проведено одним из двух методов. С помощью первого метода решают дифференциальные уравнения с заданными граничными условиями. Второй метод заключается в минимизации интегральной величины. Для решения задач теории упругости методом конечных элементов используется последний подход. Если задача решается в перемещениях и на границе заданы их значения, то нужно минимизировать потенциальную энергию системы. Если задача решается в напряжениях с заданными на границе усилиями, то нужно минимизировать дополнительную работу системы. Общепринятая формулировка метода конечных элементов предполагает отыскание поля перемещений и тем самым связана с минимизацией потенциальной энергии системы при отыскании, узловых значений вектора перемещений. После того как перемещения будут определены, можно вычислить компоненты тензоров деформаций и напряжений. [14], [15]
Поскольку далее мы будем пользоваться формулировкой метода конечных элементов, связанной с минимизацией потенциальной энергии, приведем здесь теорему о потенциальной энергии.
Из всех перемещений, удовлетворяющих кинематическим граничным условиям, стационарное (экстремальное) значение потенциальной анергии сообщают те перемещения, которые удовлетворяют уравнениям, равновесия.