1. 1 Биомеханика (стр. 3 из 13)

Связь метода конечных элементов с процедурой минимизации привела к широкому использованию его при решении задач в других областях техники. Метод применялся к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона. Решение этих уравнений также связано с минимизацией некоторого функционала. В первых публикациях с помощью метода конечных элементов решались задачи распространения тепла. Затем метод был применен к задачам гидромеханики, в частности к задаче течения жидкости в пористой среде. [33]

Область применения метода конечных элементов существенно расширилась, когда было показано что уравнения, определяющие элементы в задачах строительной механики, распространения тепла, гидромеханики, могут быть легко получены с помощью таких вариантов метода взвешенных невязок, как метод Галерейка или способ наименьших квадратов. Установление этого факта сыграло важную роль в теоретическом обоснования метода конечных элементов, так. как позволило применять его при решении любых дифференциальных уравнений. Следует отметить, что более общие теоретические обоснования исключают необходимость вариационной формулировки физических задач. [13]

Метод конечных элементов из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод численного решения дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений. Этот прогресс был достигнут за пятнадцатилетний период за счет совершенствования быстродействующих цифровых вычислительных машин, необходимых для более точного расчета конструкций летательных аппаратов, а также благодаря помощи Национального комитета по исследованию космического пространства. Вычислительная машина позволила ускорить проведение многих сложных численных расчетов. Изучение космического пространства потребовало выделения средств на проведение фундаментальных исследований и стимулировало совершенствование универсальных вычислительных программ. Метод конечных элементов применяется при проектировании самолетов, ракет, различных пространственных оболочек и т. п.

Основная концепция метода конечных элементов.

Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что любую непрерывную величину, такую, как температура, давление и перемещение можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значении непрерывной величины в коечном числе точек рассматриваемой области. [30]

В общем случае непрерывная величина заранее неизвестна, и нужно определить значения этой величины в некоторых внутренних точках области. Дискретную модель однако очень легко построить, если сначала предположить, что числовые значения этой величины в каждой внутренней точке области известны. После этого можно перейти к общему случаю. Итак, при построении дискретной модели непрерывной величины поступают следующим образом:

1. В рассматриваемой области фиксируется конечное число
точек. Эти точки называются узловыми точками или просто узлами.

2. Значение непрерывной величины в каждой узловой точке
считается переменной, которая должна быть определена.

3. Область определения непрерывной величины разбивается на
конечное число подобластей, называемых элементами. Эти элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют
форму области.

4. Непрерывная величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который определяется с помощью узловых значений этой величины. Для каждого элемента определяется свой полином, но полиномы подбираются таким образом, чтобы сохранялась непрерывность величины вдоль границ элемента.

Если рассматривается задача распространения тепла, то минимизируется функционал, связанный с соответствующим дифференциальным уравнением. Процесс минимизаций сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений T(x). [21]

При построении дискретной модели непрерывной величины, определенной в двух- или трехмерной области, основная концепция метода конечных элементов используется аналогично. В двумерном случае элементы описываются функциями от х, у, при этом чаще всего рассматриваются элементы в форме треугольника или четырехугольника. Функции элементов изображаются теперь плоскими или криволинейными поверхностями. Функция элементов будет представляться плоскостью, если для данного элемента взято минимальное число узловых точек, которое для треугольного элемента равняется трем, а для четырехугольного— четырем.

Если используемое число узлов больше минимального, то функции элемента будет соответствовать криволинейная поверхность. Кроме того, избыточное число узлов позволяет рассматривать элементы с криволинейными границами. Окончательной аппроксимацией двумерной непрерывной величины

(x, у) будет служить совокупность кусочно-непрерывных поверхностей, каждая из которых определяется на отдельном элементе с помощью значений

(х, у) - в соответствующих узловых точках.

Важным аспектом метода конечных элементов является возможность выделить из набора элементов типичный элемент при
определении функции элемента. Это позволяет определять функцию элемента независимо от относительного положения элемента в общей связной модели и от других функций элементов. Задание функции элемента через произвольное множество узловых значений и координат позволяет использовать функции элемента для аппроксимации геометрии области.

Преимущества и недостатки.

В настоящее время область применения метода конечных элементов очень обширна и охватывает все физические задачи, которые могут быть описаны дифференциальными уравнениями. Наиболее важными преимуществами метода конечных элементов, благодаря которым он широко используется, являются следующие:

1. Свойства материалов смежных элементов не должны быть обязательно одинаковыми. Это позволяет применять метод к телам, составленным из нескольких материалов.

2. Криволинейная область может быть аппроксимирована с помощью прямолинейных элементов или описана точно с помощью криволинейных элементов. Таким образом, методом можно пользоваться не только для областей с «хорошей» формой границы.

3. Размеры элементов могут быть переменными. Это позволяет
укрупнить или измельчить сеть разбиения области на элементы,
если в этом есть необходимость.

4. С помощью метода конечных элементов не представляет труда рассмотрение граничных условий с разрывной поверхностной нагрузкой, а также смешанных граничных условий.

5. Указанные выше преимущества метода конечных элементов могут быть использованы при составлении достаточно общей программы для решения частных задач определенного класса. Например, с помощью программы для осесимметрической задачи о распространении тепла можно решать любую частную задачу этого теша. Факторами, препятствующими расширению круга задач, решаемых методом конечных элементов, являются ограниченность машинной памяти и высокая стоимость вычислительных работ.[30], [24], [23]

Главный недостаток метода конечных элементов заключается
в необходимости составления вычислительных программ и применения вычислительной техники. Вычисления, которые требуется
проводить при использовании метода конечных элементов, слишком громоздки для ручного счета даже в случае решения очень
простых задач. Для решения сложных задач необходимо использовать быстродействующую ЭВМ, обладающую большой памятью.
В настоящее время имеются технологические возможности для
создания достаточно мощных ЭВМ. Некоторые коммерческие и
управляющие организации располагают обширными комплектами
вычислительных программ. Смягчить основной недостаток метода
конечных элементов могут совершенствование вычислительных программ и создание мощных. ЭВМ. [26], [4]

Цель работы состоит в том, чтобы построить конечный элемент криволинейного стержня на основании решения задачи динамики кривого стержня..

В разделе II излагается уравнение динамики криволинейного стержня (вместе с его выводом), в разделе III - общий принцип метода конечных элементов, определение матрицы направляющих косинусов для криволинейного стержня. В разделе IV - примеры расчета криволинейных стержней. В разделе V приводятся соотношения для получения матричных характеристик для КЭ в форме плоского кругового стержня и проводится решение той же задачи, что и в разд. IV. Сравнение результатов позволяет определить достоинства и недостатки нового КЭ.

2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ.

Выведем уравнение динамики для криволинейных стержней. Особенностью работы конструкции при динамическом воздействии является необходимость учитывать силы инерции, связанные с относительным перемещением точки деформируемого тела. Принципиально эта проблема решается путем добавления инерциального слагаемого в правую часть уравнения равновесия, которое после добавки называют уравнением движения. Следовательно, для статических задач это слагаемое не учитываем.

Принимаем обозначения:

n – нормаль, b – бинормаль, t – касательная, F – некоторая сила, S – параметр, имеющий смысл длины дуги и dS – сама длина дуги, r – радиус-вектор точки, U - поле перемещений (задано в разложении по подвижному векторному базису материального волокна:

), - удлинение, k – кривизна, t - крутка. [25], [22]