1. 1 Биомеханика (стр. 11 из 13)
( 4.12)
, 
( 4.13)
моменты инерции тора относительно оси, перпендикулярной плоскости колебаний и относительно оси пружины,
-упругая продольная сила,( 4.14)
Е, G, m - модуль Юнга, модуль сдвига и коэффициент Пуассона материала пружины, d – диаметр проволоки, D – диаметр пружины, y - угол подъема витка. Эти характеристики определяют динамику эквивалентного бруса.
Для уравнения ( 4.5) имеем общее решение однородного уравнения, описывающего свободные колебания [5]:
,( 4.15)
где x=х/Н, а2=В1/rАН. Параметры ak определяются из краевых условий:
( 4.16)
Так как пружина предварительно поджата с осадкой l0, то начальное перемещение и скорость
,то постоянные в ( 4.15) определяются разложением начальных условий в ряд Фурье по координате x:
( 4.17)
Это известное решение послужит в качестве теста для МКЭ.
4.2 Сетка конечных элементов для витка пружины
Для построения МКЭ-модели витка пружины введем следующие параметры сетки, принимая за основной полный полярный угол витка jmax=2p. Количество конечных элементов Nе полностью определяет матрицу связей, которая вычисляется элементарно:
( 4.18)
Здесь n1, n2 – глобальные номера узлов, соответствующие локальным номерам 1 и 2.
Координаты узлов в глобальной декартовой системе вычисляются по формулам ( 4.1):
( 4.19)
Для формирования матриц направляющих косинусов определим локальную систему координат конечного элемента, направляя ось x вдоль оси стержня. В глобальных координатах единичный вектор этой оси имеет вид:
( 4.20)
Считая, что виток имеет круглое сечение, главные центральные оси инерции поперечного сечения можем выбирать произвольно. Примем, что одна из них направлена перпендикулярно плоскости, которая проходит через ось конечного элемента и перпендикулярна координатной плоскости xOy глобальной системы координат. Ее единичный вектор имеет вид:
( 4.21)
Тогда третий единичный вектор определим так, чтобы они образовывали правую тройку:
( 4.22)
Компоненты этих векторов образуют матрицу направляющих косинусов, позволяющую преобразовать компоненты вектора, заданного в локальных координатах, в глобальную систему координат:
,( 4.23)
( 4.24)
где нижний индекс показывает, в какой СК определены компоненты вектора а: g соответствует глобальной, а l – локальной координатным системам (ГСК и ЛСК). Для установки связей между КЭ в ансамбле определим матрицы взаимной ориентации векторов:
( 4.25)
что соответствует пересчету компонент вектора из ЛСК элемента n в ГСК, а затем – из ГСК в ЛСК элемента m.
Это преобразование справедливо для компонент векторов перемещений, сил и моментов. Для преобразования углов поворота нормали вспомним, что углы поворота предполагаютмя малыми; тогда их можно ассоциировать с единичным вектором малого поворота трехгранника Дарбу, определенного в одном из узлов КЭ:
( 4.26)
и преобразовывать его компоненты по формуле ( 4.23). Суммарный поворот (конечно, только при малости углов) можно представить вектором
( 4.27)
и тогда пересчет углов поворота осуществляется по той же формуле ( 4.23).
Вектор узловых перемещений в локальных координатах представляется в виде:
;его преобразование осуществляется с помощью блочно-диагональной матрицы, составленной из матриц взаимного поворота:
( 4.28)
Матрицы жесткостей и масс для пространственного КЭ имеют вид, известный из литературы:
( 4.29)где
( 4.30)
( 4.31)
( 4.32)
Приведенные формулы составляют математическую модель конечного элемента в виде прямого стержня постоянного сечения, произвольно ориентированного в пространстве.
Объединение таких конечных элементов в ансамбль, т.е. получение матрицы жесткости и матрицы масс ансамбля КЭ, осуществляется стандартным алгоритмом МКЭ, программы, реализующие который в математическом пакете MathCad 7.0 Pro, приведены в приложении.
4.3 Расчет частот свободных колебаний витка пружины.
Изложенная математическая модель применялась для решения задачи о свободных колебаниях витка пружины. Были приняты следующие исходные данные: диаметр витка 2R = 40 мм; диаметр проволоки d=2мм; угол подъема пружины варьировался в пределах (0.05…0.2)p. Решалась задача определения частот свободных колебаний :
,( 4.33)
где К, М – матрицы жесткости и масс ансамбля КЭ, w - частота свободных колебаний. Сетка конечных элементов в глобальных координатах показана на рис. 1.
 |
Исследовалось влияние количества КЭ на точность определения частот свободных колебаний, определенных по формулам п. 4.1 [6]. Результаты расчетов для различных углов подъема пружины приведены на рис. 2…4. На рисунках приведены зависимости первой, второй и третьей частот свободных колебаний, отнесенных к их теоретическим значениям, в зависимости от количества КЭ. Результаты показывают, что для первой собственной частоты сходимость удовлетворительная при малых углах подъема витка. При его увеличении ошибка определения частоты возрастает. Вторая и третья частоты определяются значительно хуже; это можно объяснить недостаточным количеством КЭ (Ne <100). С другой стороны, измельчение сетки может привести к нарушению основного предположения о малости поперечных размеров проволоки по сравнению с длиной КЭ. Тогда следует изменить функции
формы, например, используя аналитические решения задачи динамики криволинейного стержня.
5 конечный элемент криволинейного стержня
В данном разделе приводится новый тип конечного элемента для моделирования динамических состояний криволинейных стержней. Основной идеей построения конечного элемента является использование в качестве функций формы аналитических решений задачи динамики для стержня с постоянными параметрами. Физически конечный элемент представляет собой участок кругового стержня, т.е. плоскую кривую; при сборке ансамбля КЭ стыковка осуществляется обычным способом – переходом от локальной системы координат, связанной с плоской кривой к глобальной декартовой координатной системе и суммированию компонент матриц жесткости и масс, имеющих одинаковый физический смысл.
Функции формы для такого конечного элемента получаются с помощью метода начальных параметров. При этом все силовые параметры (продольная и поперечная силы и изгибающий момент ) исключаются из разрешающих уравнений через кинематические параметры состояния (продольное и поперечное перемещения и угол поворота) концевого сечения. Дальнейшая процедура построения матричных характеристик КЭ обычна для метода.
Приводятся результаты вычисления спектра свободных колебаний криволинейного стержня и его сопоставление с результатами, полученными при использовании прямолинейных конечных элементов.
5.1 Функционал Лагранжа для плоского криволинейного стержня.
При конструировании конечного элемента будем исходить из следующих соображений. Примем, что конечный элемент имеет ось в виде плоской кривой – дуги окружности. Плоскость, в которой лежит ось конечного элемента, определяется положением трех точек на истинной оси стержня: начальной, конечной и средней. Таким образом, локальная координатная система однозначно связывается с глобальной декартовой координатной системой. Рассмотрим деформирование стержня – конечного элемента в локальной координатной системе. Кривизна стержня будет постоянной: