Тема 24. Преобразование гильберта-хуанга судьба новой истины такова: в начале своего существования она всегда кажется ересью (стр. 1 из 4)
Тема 24. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА-ХУАНГА
Судьба новой истины такова: в начале своего существования она всегда кажется ересью.
Томас Генри Гексли.
Эту стадию Хуанг уже прошел. Вытирать об него ноги математики прекратили и скопом ринулись обосновывать новый метод. А практикам понравилось: работает хорошо, интеграл всего один, и тот позаимствован у Гильберта. Наши, правда, опять лопухнулись, мир вопит от восторга, а мы интересуемся – о чем галдеж?
Игорь Бреднев. Уральский геофизик.
Содержание.
Введение.
1. Преобразование Гильберта и аналитический сигнал. Определение и формула. Мгновенная амплитуда, фаза и частота сигнала. Симметрия огибающих сигнала.
1. Эмпирический метод декомпозиции (EMD) сигналов. Огибающие сигналов. Функции внутренних мод сигналов. Процесс отсеивания функций IMF. Критерии останова процесса декомпозиции. Ортогональность базиса декомпозиции. Примеры практического применения EMD.
2. Спектральный анализ Гильберта (HSA). Спектр мгновенных частот Гильберта.
3. EMD шумовых сигналов. EMD «белого шума». Частотная избирательность EMD.
Введение
Под преобразованием Гильберта-Хуанга (Hilbert-Huang transform – HHT) понимается метод эмпирической модовой декомпозиции (EMD) нелинейных и нестационарных процессов и Гильбертов спектральный анализ (HSA). HHT представляет собой частотно-временной анализ данных (сигналов) и не требует априорного функционального базиса преобразования. Функции базиса получаются адаптивно непосредственно из данных процедурами отсеивания функций «эмпирических мод». Мгновенные частоты вычисляются от производных фазовых функций Гильбертовым преобразованием функций базиса. Заключительный результат представляется в частотно-временном пространстве /1/.
EMD-HSA был предложен Норденом Хуангом в 1995 в США (NASA) для изучения поверхностных волн тайфунов, с обобщением на анализ произвольных временных рядов коллективом соавторов в 1998 г. /2/. В последующие годы, по мере расширения применения EMD-HSA для других отраслей науки и техники, вместо термина EMD-HSA был принят более короткий термин преобразования HHT.
Традиционные методы анализа данных предназначены, как правило, для линейных и стационарных сигналов и систем, и только в последние десятилетия начали активно развиваться методы анализа нелинейных, но стационарных и детерминированных систем, и линейных, но нестационарных данных (вейвлетный анализ, распределение Wagner-Ville и др.). Между тем, большинство естественных материальных процессов, реальных физических систем и соответствующих этим процессам и системам данных в той или иной мере являются нелинейными и нестационарными, и при анализе данных используются определенные упрощения, особенно в отношении априорно устанавливаемого базиса преобразования данных в новые, удобные для обработки и анализа метрические пространства.
Необходимое условие корректного представления нелинейных и нестационарных данных заключается в том, чтобы иметь возможность формирования адаптивного базиса, функционально зависимого от содержания самих данных. Такой подход и реализуется в методе HHT, хотя на данный момент без достаточно строгих математических обоснований. Хорошие результаты применения метода для решения многих практических задач позволяют надеяться, что за разработкой строгой теории метода дело не станет.
24.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА И АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ
Определение и формула. Преобразование Гильберта TH[x(t)] действительной функции x(t), -∞ < t < ∞, - есть действительная функция, определенная как
(t) = ТН[x(t)] = x(t) * (1/pt), (t) = 
. (24.1.1)Функция 1/(t-t) называется ядром преобразования Гильберта. Преобразование имеет особую точку при t-t Þ 0, в которой при вычислении используется главное значение интеграла по Коши. Функции x(t) и
(t) обычно называют сопряженными по Гильберту.Физически, преобразование Гильберта может быть интерпретировано как естественный p/2 фазовращатель, который при прохождении через систему сигнала x(t) изменяет фазу всех частотных составляющих сигнала на p/2, и тем самым делает сигнал
(t) ортогональным сигналу x(t). Это позволяет сформировать из сигналов x(t) и (t) комплексный аналитический сигнал z(t), как  Рис. 24.1.1. |
z(t) = x(t) + j
(t), (24.1.2)где z(t) представлен вектором на комплексной плоскости с проекциями на действительной и мнимой оси соответственно x(t) и
(t) (рис. 24.1.1). Преимущество этого представления состоит в том, что возникает возможность однозначно определять текущие временные параметры сигнала z(t), а именно – мгновенные значения его амплитуды и фазы.Допустим, что имеем зарегистрированный радиосигнал x(t) с несущей частотой wo, который содержит определенную информацию, заключенную в огибающей сигнала u(t) и его фазе j(t):
x(t) = u(t) cos (wot+j(t)).
В другой форме:
x(t) = a(t)×cos(wot) + b(t)×sin(wot),
a(t) = u(t) cos wt, b(t) = u(t) sin wt, u(t) =
, tg j(t) = b(t)/a(t).Мгновенная амплитуда, фаза и частота сигнала. С использованием преобразования Гильберта из сигнала x(t) сформируем аналитически сопряженный сигнал
(t). С учетом сдвига фазы на p/2: (t) = a(t)×sin(wоt) – b(t)×cos(wot).z(t) = x(t) + j×
(t).Квадрат модуля сигнала z(t):
|z(t)|2= x2(t)+
2(t)= a2(t)[cos2(wot)+sin2(wot)]+b2(t)[cos2(wot)+sin2(wot)]= u2(t).Отсюда, огибающая u(t) и мгновенная фаза w(t) сигнала x(t):
u(t) =
. (24.1.3)f(t) = wot+j(t) = arctg[
(t)/x(t)]. (24.1.4)j(t) = f(t) - wot.
Мгновенная частота сигнала определяется по скорости изменения мгновенной фазы:
dj(t)/dt = [
’(t)x(t) - x’(t) (t)] / ( 2(t)+x2(t)). (24.1.5)Определения (24.1.3) и (24.1.5) подразумевают, что в каждый текущий момент времени в сигнале существует единственное значение амплитуды и частоты. Однако физическая интерпретация понятия «мгновенности» неоднозначна и требует определенных ограничений.
Действительно, в стационарных моногармонических сигналах и в сигналах с непрерывным гладким изменением частоты понятие «мгновенности» имеет вполне определенный физический смысл, поскольку точно фиксирует положение каждой текущей точки в частотно-временном пространстве, что можно наглядно видеть на рис. 24.1.2 и 24.1.3.
Рис. 24.1.2. Мгновенная амплитуда и частота гармонического сигнала.
Рис. 24.1.3. Мгновенная амплитуда и частота гладкого непрерывного сигнала.
Однако уже для суммы двух гармонических сигналов, приведенных на рис. 24.1.4, положение усложняется. Физически в каждой текущей точке сигнала постоянно присутствуют две частоты с определенной амплитудой колебаний. Мгновенная амплитуда преобразования Гильберта в этом случае отображает не сумму значений гармоник в каждый текущий момент времени, а огибающую интерференции этих гармоник, при этом максимальные мгновенные значения огибающей, равные сумме амплитуд гармоник, фиксируются в точках максимумов по модулю суммы первых производных гармоник, а минимальные значения, равные разности амплитуд гармоник, в точках минимума суммы модулей первых производных гармоник. Это обеспечивает симметричность верхней и нижней огибающих относительно временной оси. Все вышеизложенное действительно и для любых многотональных сигналов.
Рис. 24.1.4. Мгновенные амплитуды и частоты двутональных сигналов.
Что касается мгновенных значений частоты, то при равной амплитуде гармоник мгновенная частота во всех точках сигнала равна среднему значению частот гармоник. При неравной амплитуде гармоник функция мгновенной частоты сдвигается в сторону частоты гармоники с большей амплитудой и приобретает пульсирующий характер, при этом пики экстремумов частотных пульсаций соответствуют минимумам огибающих пульсаций и также направлены в сторону частоты гармоники с большей амплитудой.