«Применение пакета Mathematica для математических вычислений» (стр. 3 из 4)

Геометрия

Геометрическое дополнение содержит пакеты, включающие функции для задания параметров правильных многоугольников и многогранников, а также функции, обеспечивающие вращение на плоскости и в пространстве.

Линейная алгебра

В это дополнение входят функции для создания ортогональных векторных базисов, решения матричных уравнений, разложения матриц и выполнения других операций с матрицами. Оно включает пакеты Cholcsky, GaussianElimmatlon, MatrixManipulation, Orthogonalizaltion, Tridiagonal.

Теория чисел

Функции, относящиеся к теории чисел, широко представлены в ядре программы Mathematica, например PrimePi, EulerPhi, MoebiusMu и DivisorSigma. Дополнение теории чисел расширяет этот список функций. В нее включены пакеты для доказательства простоты чисел, разложения целых чисел на множители. Имеются функции для аппроксимации действительных чисел рациональными и полиномов с действительными корнями полиномами с целыми коэффициентами. Пользуясь дополнениями, можно найти разложение действительного числа в бесконечную дробь или произвольное разложение действительного числа разбить на непериодическую и периодическую части. Поддерживаются также такие функции теории чисел, как Ramujan и Siegel.

В новой версии появились возможности для нахождения базисных элементов для произвольных алгебраических расширений рациональных чисел.

Приближенные вычисления

Это дополнение расширяет список встроенных функций программы Mathematica для приближенных численных расчетов. Оно содержит средства подгонки функциями (полиномом, сплайнами, тригонометрическими), численные версии некоторых аналитических функций ядра (ND, NLiunit, NResldue, NSencs), функции численного интегрирования (CauchyPrincipalValue, Listintegrate, IntegrateInterpolationFunction), аппроксимации отношением полиномов, поддержки численного решения дифференциальных уравнений (BesscIZeros, Butcher, Order-Star), а также альтернативный способ нахождения корней (FindRout) с использованием методов интервалов или интерполяции. В последнюю версию введены пакеты для численного нахождения вычетов и разложений комплексных функций.

Статистика

Это дополнение включает методы статистической обработки данных. В нем содержатся функции известных непрерывных и дискретных статистических распределений. В новую версию добавлены пакеты подгонки и сглаживания данных, классической и робастной описательной статистики, линейной и нелинейной регрессии с диагностикой.

Утилиты и разное

Дополнение “утилиты” содержит команды для контроля времени вычислений, оптимизации использования памяти и др. К “разному” относятся те функции, которые трудно классифицировать, в частности функции, расширяющие аудиовозможности системы, — модуляция звуковых волн и музыкальные гаммы. В “разное” входят также календарные данные, физические постоянные, единицы измерения физических величин, свойства химических элементов и, кроме того, различные географические данные и даже функции для построения географических карт.

Пакеты и отдельные функции из них могут загружаться по мере необходимости. Если же какой-либо пакет часто используется, то его можно инициализировать при загрузке ядра программы.

Профессиональные приложения.

Для программы Mathematica помимо стандартных дополнений разработано большое количество профессиональных приложений – пакетов, расширяющих возможности программы в специальных областях. Библиотека приложений в настоящее время содержит 23 различных пакета, из которых 18 разработано корпорацией, а остальные – другими разработчиками. Причем эта библиотека очень быстро пополняется.

Перечислим только некоторые из профессиональных приложений, демонстрирующих их разнообразие: Structural Mechanics, Experimental Data Analyst, Time Series, Finance Essentials, Fuzzy logic и т.д.

Глава 3. Применение пакета Mathematica для построения оригинальных алгоритмов решения задач

Как пример для иллюстрации возможностей рассматриваемого пакета символьных вычислений обратимся к следующей задаче:

Рассмотрим электрический контур с последовательно соединенными элементами. Индуктивность элементов L=1 Гн, сопротивление R=1000 Ом и емкость

Ф. Начальный заряд в контуре равен нулю и в момент времени t=0 к нему прикладывается постоянная э.д.с. равная 24 В. Требуется определить величину тока в момент t=0.1, для чего нужно решить следующее дифференциальное уравнение:

И вычислить

.

Далее решим задачу численно при помощи метода Рунге-Кутта четвертого порядка и метода Нюстрема пятого порядка точности для систем дифференциальных уравнений первого порядка. Отметим, что при реализации последнего алгоритма требуется задать два начальных значения, которые возьмем из результатов, полученных в первом методе.

Не вдаваясь в математическую суть рассматриваемых многошаговых методов численного решения ДУ, рассмотрим решение данной задачи и проанализируем его.

Листинги методов решения данной задачи Коши приведены приложении А данной работы. Сами же результаты численного решения и последующей интерполяции при помощи построенных программ, а также при помощи встроенных в пакет функций продемонстрированы ниже.

Результат вычислений по методу Рунге-Кутта

Результат вычислений по методу Нюстрема

Глава 4. Анализ полученных результатов

Исходя из полученных на практике результатов, метод Нюстрема оказался более точным по сравнению с методом Рунге-Кутта , в то время как количество операций примерно одинаковое.

Как уже отмечалось, Mathematica – мощная программа аналитических и численных расчетов, которые использует идеологию интерактивных документов, включающих собственно программы, текст и графику. Так же этот символьный пакет имеет удобный графический интерфейс и развитую помощь, включающую помимо примеров, полное описание программы в гипертекстовом формате. Огромное количество заложенных разработчиками функций, а также открытая среда, позволяющая дополнять пакет своими собственными расширениями, делает их возможности воистину безграничными.

Mathematicа дает возможность специалистам решать большое количество достаточно сложных задач, не вдаваясь в тонкости программирования. Благодаря этому программа получила широкое распространение в таких областях, как физика, биология, экономика. Программа также применяется как для выполнения, так и для оформления инженерных проектов.

Mathematica является важным инструментом при разработке программного обеспечения. Она может быть модернизирована самим пользователем, так как on носится к открытым программным продуктам. Была разработана примерно сотня профессиональны” приложений, расширяющих возможности системы применительно к конкретным областям деятельности.

Программа Mathematica наряду с программами Maple, MatLab и MathCad применяется в качестве базисной для построения курса математики во многих высших как технических, так и гуманитарных учебных заведениях. Несколько периодических изданий и сотни книг посвящено этой программе.

Заключение

Данный реферат был посвящен применению пакета Mathematica в современных математических приложениях и исследованиях. Был дан краткий обзор основных возможностей, предоставляемых пользователям данной программы.

В качестве иллюстрации актуальности и идее применения пакета в науке был рассмотрен пример построения собственного пользовательского алгоритма численного решения задачи Коши для ДУ 2-го порядка. Конечно, разумно задаться вопросом «Зачем программировать новый алгоритм, если Mathematica сама может решить подобную задачу, используя свои встроенные методы численного и аналитического решения?».

Ответом будут являться собственные исследования автора данной работы в области, например, вычислительной алгебры. Был построен такой метод решения разреженных систем линейных уравнений, который обгонял по производительности пакет Mathematica в два раза, что доказывает необходимость большего расширения функционала пакета и оставления возможности писать собственный пользовательский алгоритмический код.

Предметный указатель

M

Mathematica 20

А

Алгебра 9

Аналитические расчеты 7

В

Вычисления 9

Г

Геометрия 10

Графика 10

Графика и звук 8

Д

Дискретная математика 10

Л

Линейная алгебра 10

М

Математические функции 8