Локальная гладкость и асимптотика решения метода конечных суперэлементов в угловых точках разбиения (стр. 1 из 10)
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Ордена Ленина
Институт прикладной математики
им. М.В. Келдыша
М.П. Галанин, С.А. Лазарева
Локальная гладкость и асимптотика решения
метода конечных суперэлементов
в угловых точках разбиения
Москва – 2008
Аннотация(*)
В работе представлены результаты теоретических исследований характеристик метода конечных суперэлементов Федоренко (МКСЭ). Определены регулярность приближенного решения МКСЭ, его асимптотика в окрестности угловых точек разбиения области на подобласти-суперэлементы.
M. Galanin, S. Lazareva
Local regularity and asymptotic behavior of the
finite superelement method solution
near the corner points of decomposition
Abstract
In this paper characteristics of Fedorenko finite superelement method (FSEM) is theoretically investigated. Regularity of the approximate solution is given. Asymptotics near the corner points of decomposition on subdomains-superelements is examined.
Содержание
Введение .……………………………………………………………………....3
2. Обозначения и определения. 8
3. Локальная гладкость приближенного решения МКСЭ.. 14
4. Оценки решения по шкале HM(Ω) 23
Введение
Основанием для разработки и развития метода конечных суперэлементов Федоренко (МКСЭ) является проблема численного решения сложных вычислительных задач, содержащих резкие особенности, или “сингулярности”, решения. В этих случаях размеры расчетной области составляют значительную величину в сравнении с областью проявления особенностей.
Данная работа является продолжением исследований [3 – 12] по выявлению качественных характеристик МКСЭ. В ней определены регулярность приближенного решения МКСЭ, установлена его асимптотика в окрестностях угловых точек разбиения области на подобласти-суперэлементы (СЭ). Работа выполнена на примере задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Для достижения поставленной цели использованы теория весовых пространств Соболева и Кондратьева, теория эллиптических задач в областях с угловыми точками, свойства регулярности решений вариационных задач в негладких областях. Работа направлена на поиск оптимальных аппроксимаций метода и способов его применения.
МКСЭ позволяет решать задачи, содержащие мелкие “сингулярности” в расчётной области в пространстве слабых решений, обладая при этом погрешностями, оцениваемыми через ограничения этого решения на гладкие части суперэлементных границ. Это не требует использования сеток, сгущающихся в окрестностях “сингулярностей”, и связано с выбором особых аппроксимирующих пространств. Однако поведение приближений МКСЭ в пространствах сильных и гладких решений также представляет интерес.
При решении задачи рассматриваемая проблема возникает естественным образом. Как правило, искомое решение при достаточно гладкой границе области и подходящих граничных условиях обладает производными (например, суммируемыми с квадратом) до порядка
. Вторым распространенным вариантом является гладкое, обладающее производными высокого порядка, решение в окрестностях границ разбиения области на подобласти-суперэлементы.Производные представляют важные (а часто и определяющие) физические характеристики поставленной задачи. Например, такими характеристиками могут быть скорости и ускорения в механике, гидродинамике; напряжения, деформации и скорость их роста в теории упругости; напряженности и силы в теории поля; мощность тепловых источников и потоки газа в теории переноса теплоты и др. Полученные в работе результаты позволяют определить поведение погрешностей приближения производных решения первого и более высокого порядков.
Связующим звеном такого исследования является определение гладкости приближений МКСЭ, их асимптотического поведения в окрестностях углов декомпозиции. Помимо того, определение возможной гладкости приближенного решения в пределах СЭ и во всей области и нахождение его асимптотики представляют самостоятельный интерес.
1. Принципы МКСЭ
Метод конечных суперэлементов (МКСЭ) предложен в работах Федоренко и его коллег [1–2] и входит в класс численных методов, основанных на декомпозиции области в сочетании с выбором особой аппроксимации решения. Функции, с помощью разложения по которым разыскивается приближенное решение МКСЭ, являются решениями исходной системы уравнений в части области со специальными условиями на ее границе и, следовательно, заведомо содержат в себе ряд характеристик решения рассматриваемой задачи. Для авторов метода и данной работы главный интерес представляют задачи, характеризующиеся наличием ряда резких особенностей, проявляющихся на малых по сравнению с основной областью пространственных подобластях. Такие особенности могут представлять собой “сингулярности” решения, порожденные резкими неоднородностями геометрии области либо физической или математической модели. В работах [1–12] эффективность МКСЭ подтверждена примерами решения задач разнообразного физического происхождения.
Все дальнейшие рассмотрения мы проведем на примере задачи Дирихле для уравнения Лапласа в двумерной области
. Область 
представляет собой квадрат с исключенными из него кругами, радиус которых мал по сравнению с размерами Ω (рис. 1). Полагаем, что в окрестностях таких мелких отверстий сосредоточены все резкие “сингулярности” решения. 
в , 
на 
, где
– искомая функция, – граница расчетной области, 
– некоторая известная функция на .Как и в обычном методе конечных элементов (МКЭ) для численного решения задачи разобьем расчетную область на некоторое число подобластей, называемых суперэлементами. Каждое предполагаемое место сосредоточения особенности (отверстие, неоднородность и т.п.) при этом должно быть заключено строго внутри одного СЭ. На рис. 2 показан пример равномерного разбиения области
на квадратные СЭ 
с границей 
, 
, где 
– общее число подобластей-суперэлементов. Функции, разложением по которым разыскивается приближенное решение, для краткости будем называть базисными. Они являются финитными, их носители связаны с СЭ. При этом задание аппроксимаций в МКСЭ связано не со всей двумерной подобластью 
, а только с её одномерной границей.Рассмотрим аппроксимации МКСЭ в одном СЭ
, где 
- некоторое фиксированное число. На его одномерной границе зададим набор функций 
, 
, которые назовем граничными базисными функциями. В узлах СЭ 
и на границе его отверстия 
они равны 
, 
, 
, где
– символ Кронекера. Узлы СЭ 
расположены только на его ребрах и в углах (рис. 3). Символ , имеющий нулевой индекс, обозначает не один узел, а всю границу отверстия. В том случае, если СЭ не содержит отверстия, полагаем, что 
на всей 
.Ранее в [6; 9] предложены и исследованы различные варианты продолжения этих функций с узлов
на ребра СЭ. Варианты заключаются в представлении базисных граничных функций на каждом из ребер границы некоторым “стандартным” интерполянтом [19]: полиномиальным, кусочно-линейным, сплайном и т.д. Одна из таких функций 
при кусочно-линейной зависимости представлена на рис. 4, а при полиномиальной зависимости второго порядка на ребрах границы СЭ – на рис. 5.