Локальная гладкость и асимптотика решения метода конечных суперэлементов в угловых точках разбиения (стр. 9 из 10)

, где ,

для

, , выполнено

,

и принято обозначение

,

– касательные вектора для границы

.

Замечание Пространство

, дополненное набором таких условий, не является замкнутым в в стандартной норме. Оператор непрерывно действует из в такое модифицированное пространство и допускает непрерывный обратный при s > 2 в том случае, когда оно снабжено нормой с добавлением слагаемого, совпадающего с левой частью или , см. также [26].#

Таким образом, для исследования свойств нормальной производной

в соответствии с приведенными утверждениями нам нужны только значения в вершинах углов СЭ.

Из условий – утверждения 3 в некоторой окрестности угла Λ СЭ раствора

при , , не выполнены условия и для , то есть . Действительно, согласно разложению для и разложению для данного случая несложно проверить, что в вершине угла P:

,

.

Подобный же результат мы получим, исследуя целый СЭ

(см. утверждение 4) для произвольного раствора α. Следовательно, нормальная производная не является образом локального оператора следа , действующего из в , а элемент не обладает гладкостью .

В дальнейшем необходимо дополнительное исследование полученных результатов, а “стандартная” схема не применима для получения верных априорных оценок МКСЭ и определения сходимости производных в энергетической норме пространства

. Последующие работы посвящены более точному определению свойств и погрешностей производных.

Заключение

В работе представлены результаты теоретических исследований МКСЭ Федоренко. Определены регулярность приближенного решения МКСЭ, его асимптотика в окрестностях угловых точек разбиения области на подобласти - суперэлементы. Исследование проведено на примере задачи Дирихле. Определение гладкости приближенного решения в пределах СЭ и во всей области и его асимптотического поведения в окрестностях “неестественного” разбиения исходной области на многоугольные СЭ представляет большой самостоятельный интерес. Помимо этого выполненная работа служит связующим звеном при переходе к определению теоретических оценок погрешностей производных приближенного решения.

Список литературы

[1] Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. – МФТИ, Москва, 1994. – 528с.

[2] Жуков В.Т, Новикова Н.Д., Страховская Л.Г., Федоренко Р.П., Феодоритова О.Б. Метод конечных суперэлементов в задачах конвекции-диффузии // Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, n. 8, 2001. – 36 с.

[3] Галанин М.П., Савенков Е.Б. К обоснованию метода конечных суперэлементов // Журн. вычисл. мат. и мат. физики, т. 43, n. 5, 2003, c. 711 – 727.

[4] Галанин М.П., Савенков Е.Б. Метод конечных суперэлементов для задачи о скоростном скин-слое // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, n. 3, 2004.

[5] Galanin M., Savenkov E., Temis J. Finite Superelements Method for Elasticity Problems // Mathematical Modelling and Analysis, v. 10, n. 3, 2005, p. 237 – 246.

[6] Галанин М.П., Лазарева С.А., Савенков Е.Б. Численное исследование метода конечных суперэлементов на примере решения задачи о скважине для уравнения Лапласа // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, n. 79, 2005.

[7] Галанин М.П., Савенков Е.Б. Совместное использование метода конечных элементов и метода конечных суперэлементов // Журн. вычисл. мат. и мат. физики, т. 46, n. 2, 2006, c. 270 – 283.

[8] Galanin M., Lazareva S., Savenkov E. Numerical investigation of the Finite Superelement Method for the 3D elasticity problems // Mathematical Modelling and Analysis, v. 12, n. 1, 2007, p. 39 – 50.

[9] Galanin M., Lazareva S., Savenkov E. Fedorenko Finite Superelement Method and its Applications // Computational Methods in Applied Mathematics, v. 7, n. 1, 2007, p. 3 – 24.

[10] Галанин М.П., Лазарева С.А., Савенков Е.Б. Качественный анализ и численное исследование метода конечных суперэлементов Федоренко // Тезисы всероссийской конференции по вычислительной математике “КВМ – 2007”, 18 – 20 июня, 2007, Академгородок, Новосибирск, Россия, с. 23.

[11] Лазарева С.А. Априорные оценки погрешностей и гладкость приближенного решения МКСЭ Федоренко // Тезисы конференции “Студенческая научная весна – 2007”, МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия.

[12] Лазарева С.А. Аппроксимационные свойства метода конечных суперэлементов Федоренко // Вычислительные технологии, 2008, в печати

[13][1] Агранович М.С. Обобщенные функции и соболевские пространства // Лекции Независимого московского университета, 2005. – 60 с.

[14][2] Агранович М.С. Спектральные задачи для сильно эллиптических систем второго порядка в областях с гладкой и негладкой границей // Успехи математических наук, т. 57, вып. 5, 2002, с. 3 – 78.

[15][3] Агранович М.С. Регулярность вариационных решений линейных граничных задач в липшицевых областях // Функциональный анализ и его приложения, т. 40, вып. 4, 2006.

[16] Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. Мир, Москва, 1971. – 371 с.

[17] Назаров С.А, Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. – Наука, Москва, 1991. – 336 с.

[18] Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. Мир, Москва, 1977. – 383 с.

[19] Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. Физматлит, Москва, 1994. – 336 с.

[20] Васильчик М.Ю. Граничные свойства функций из пространства Соболева, определенных в плоской области с угловыми точками // Сибирский математический журнал, т. 36, n. 4, 1995, с. 787 – 804.

[21] Математическая энциклопедия. В 5 т. Т.3: Меллина преобразование / гл. ред. Виноградов И.М. – Советская Энциклопедия, Москва, 1977.

[22][4] Bacuta C., Bramble J.H., Xu J. Regularity estimates for elliptic boundary value problems with smooth data on polygonal domains // Journal of Numerical Mathematics, v. 11, n. 2, 2003, p. 75 – 94.

[23] Borsuk M., Kondratiev V. Elliptic boundary value problems of second order in piecewise smooth domains. – Elsevier, North-Holland, 2006. – 538 p.

[24][5] Costabel M., Dauge M. Construction of corner singularities for Agmon-Douglis-Nirenberg elliptic systems//Mathematische Nachrichten, v.162,n.1,1993,p.209– 237

[25][6] Costabel M., Dauge M. Stable asymptotics for elliptic systems on plane domains with corners // Communications in Partial Differential Equations, v. 19, n. 9–10, 1994, p. 1677 – 1726.

[26][7] Bernardi Ch., Dauge M., Maday Y. Polynomials in the Sobolev World // Internal Report, Laboratoire Jacques-Louis Lions,Université Pierre et Marie Curie, 2003.–97p.

[27][8] Dahlke St., DeVore R.A. Besov Regularity for Elliptic Boundary Value Problems // Communications in Partial Differential Equations, n. 22, 1997, p. 1 – 16.

[28][9] Ding Z. A proof of the trace theorem of Sobolev spaces on Lipschitz domains // Proceedings of American Mathematical Society, v. 124, n. 2, 1996, p. 591 – 600.

[29] DeVore R.A. Nonlinear approximation // Acta Numerica, n. 7, 1998, p.51 – 150.

[30] Fabes E., Mendez O., Mitrea M. Boundary Layers on Sobolev-Besov Spaces and Poisson’s Equation for the Laplacian in Lipschitz Domains // Journal of Functional Analysis, n. 159, 1998, p. 323 – 368.

[31] Jerison J., Kenig C.E. The inhomogeneous Dirichlet problem in lipschitz domains // Journal of Functional Analysis, n. 130, 1995, p. 161 – 219.

[32][10] Kozlov V.A., Maz’ya V.G., Rossmann J. Elliptic boundary value problems in domains with point singularities. – American Mathematical Society, 1997. – 414 p.

[33] Lehman R.Sh. Developments at an analytic corner of solutions of elliptic partial differential equations // Journal of Mathematics and Mechanics, v. 8, n. 5, 1959, p. 727 – 760.