Локальная гладкость и асимптотика решения метода конечных суперэлементов в угловых точках разбиения (стр. 6 из 10)
Рассмотрим пространство
. Согласно в его определение включено условие . Мы вводим ещё одно важное предположение о совместности следов в узлах 
СЭ, а именно: 
считаем выполненным условие 
. Считаем также, что все углы СЭ направлены во внешность их области:
. Пространство , дополненное условием совместности следов , и условием 
на раствор углов, обозначим 
.Утверждение 2 . Приближенное решение МКСЭ из пространства
принадлежит соболевскому пространству 
в пределах каждого СЭ 
. То же верно для интерполянта 
.Доказательство. Предыдущие выкладки показывают, что
в области СЭ 
, если 
. Нерегулярный случай 
при минимальном значении 
из множества 
дает 
. Значит, выполнено 
. Аналогично для . Заметим, что для дальнейших выкладок это не принципиально, но упрощает некоторые записи. #3.2. Асимптотическое разложение функции класса HR(Λ)
Приведем некоторые известные сведения об асимптотическом разложении некоторой функции в многоугольном СЭ. Совместно с пунктом 0 эта информация может быть употреблена для получения ряда оценок. Кроме того, она дает представление и о других возможных вариантах задания граничных базисных функций, не указанных ранее и характеризуемых любой гладкостью по шкале Соболева. Как мы уже отмечали, показатель гладкости такой функции в СЭ всегда ограничен сверху. Это связано с гладкостью
его границы. Получим асимптотическое разложение в окрестностях угловых точек.Произвольное решение уравнения Лапласа с граничными данными
в угле Λ СЭ 
(в некоторой окрестности угловой точки P) разложимо в сумму гладкой и сингулярной частей [24; 25; 35]: 
, 
, 
, где
обладает максимальной гладкостью, порожденной гладкостью функции граничного условия, а наличие 
обусловлено видом области Λ. Здесь 
– локальная система координат в угле Λ; набор параметров λ определен некоторыми характеристическими числами, связанными с уравнением, и может быть дополнен конечным числом положительных действительных параметров 
, 
; причем и в том, и в другом случае диапазон λ ограничен сверху гладкостью граничных данных; Q – конечное число; 
– константы. Рассматриваемое нами эллиптическое уравнение не содержит членов порядка меньше максимального. Кроме того, границы 
СЭ в некоторой окрестности каждого из углов Λ считаем прямыми линиями.Классическим способом определения регулярности решения линейного эллиптического уравнения с постоянными коэффициентами является метод В.А. Кондратьева(*), использующий преобразование Меллина [21] исходного уравнения в угле Λ в задачу на отрезке
, 
, 
– изображение. Выписанное уравнение на собственные значения 
можно получить и определенной заменой переменных, преобразовывающей задачу в угле в задачу на некоторой простой области, например, полосе [17], полупространстве [33] в случае уравнения Лапласа. Несложно определить его решение как решение задачи Штурма-Лиувилля. Оно имеет вид: 
, 
, 
. Обратное преобразование Меллина даст разложение решения: 
, где принадлежит конечному промежутку, 
В случае уравнения Лапласа коэффициенты λ разложения включают в себя конечный ряд из полученных характеристических чисел
для [25; 32].Наличие неоднородных граничных условий на
приводит к возникновению дополнительных слагаемых в таком разложении, гладкость которых измеряется в пространствах Соболева с весом 
[35]. Для определения их полной асимптотики и регулярности в рамках шкалы “обыкновенных” пространств Соболева требуется дополнительное исследование. Например, полиномиальная правая часть в угле раствора 
(см. пункт 0) приводит к разложению с порядком 
. Величина 
регулярна при рассмотрении пространства с показателем гладкости 
, она регулярна также и для некоторых пространств Соболева с весом. При работе в шкале соболевских пространств 
, 
, её уже необходимо учитывать как нерегулярную часть. Отметим, что шкала весовых пространств “с однородной нормой”, возникающих при использовании метода Кондратьева, не имеет пересечений со шкалой пространств Соболева [32]. Мы ее не используем.