Локальная гладкость и асимптотика решения метода конечных суперэлементов в угловых точках разбиения (стр. 3 из 10)

Определим объекты нашего рассмотрения.

Пространство всех полиномов порядка не выше

на отрезке обозначим через . Введем – пространство заданных на границе S полиномов порядка не выше на каждой из частей границы. Обозначим символом пространство всех сплайнов порядка не выше , построенных на разбиении на отрезок длины . При этом . Полиномиальная интерполяция служит частным случаем интерполяции сплайнами, в которой – число отрезков на S, поэтому при её рассмотрении вариант полиномиальной граничной интерполяции МКСЭ отдельным образом не выделяется.

Аппроксимирующее пространство

МКСЭ – линейная оболочка, образованная всеми базисными функциями МКСЭ с граничной интерполяцией посредством сплайнов , т.е.

.

Здесь след функции на S определен равенством

. Оператор взятия следа , заданный на соотношением

, ,

непрерывно действует из пространства

в для всех . При этом существует непрерывный оператор, обратный к и действующий из в . Такой общий случай действия оператора справедлив как для гладкой, так и для многоугольной или просто липшицевой границы [16; 31]. Отметим, что определение содержит условие

почти всюду на ,

для всех

и всех соседних СЭ , . Это соотношение, очевидно, не всегда выполнено для пространства слабых решений задачи (см., например, [36]). Аппроксимирующее пространство МКСЭ содержит его как “главное условие”, накладываемое на все базисные функции. Соотношение не включено в для сохранения более компактной записи. Иногда, если это не вызовет недоразумений, мы будем использовать также символ без обозначения множества, на котором определена область значений оператора взятия следа.

Аналогичным образом определено и аппроксимирующее пространство

МКСЭ, представляющее собой линейную оболочку, образованную базисными функциями МКСЭ с граничной интерполяцией посредством полиномов порядка не выше ν.

В определение аппроксимирующего пространства не входят условия совместности функций в узлах

СЭ вида:

, ,

на соседних отрезках

границы S , . Условие , как правило, в МКСЭ выполнено, поскольку введено в определение граничных базисных функций (см. ). Оно связано с расчетом базисных функций МКСЭ, являющихся решениями задач – , и заданием интерполянта для них, непрерывного на всей границе . Линейная оболочка таких базисных функций МКСЭ согласно определению и составляет аппроксимирующее пространство. Тем не менее, условие можно ввести без ограничения общности метода, если непрерывность искомой функции в окрестностях узлов СЭ заведомо известна, а все особенности задач заключены строго внутри СЭ. В частности, всегда для сильного решения , .

Отметим, что в определении использован оператор Лапласа, определяющий гармоническую функцию в СЭ. Под гармоничностью некоторого слабого решения

в произвольной области Ω мы понимаем его удовлетворение уравнению Лапласа в следующей обобщенной постановке:

.

Далее как для слабого, так и для сильного решения продолжаем формально пользоваться кратким обозначением

.

Характерным свойством аппроксимации слабых решений МКСЭ является возможность рассмотрения задачи – не просто в энергетическом пространстве

, а в некотором его подпространстве, обозначаемом здесь . Это пространство снабжено дополнительным свойством гармоничности входящих в него функций в каждом из СЭ по отдельности:

.

Аппроксимирующее пространство МКСЭ является подпространством данного пространства. Определение

включает в себя условие :

почти всюду на ,

для всех

и всех соседних СЭ , . Перепишем его эквивалентно также в виде: