А. Н. Бородин «Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики», издательство «Лань», 1998, > Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров «Теория вероятностей», Наук (стр. 8 из 9)
Ниже будем пользоваться верной для любой функции h(x) формулой:
E[h(Х)]=
Начальный момент
го порядка случайной величины 
обозначается символом 
и определяется выражением: 
Центрированной случайной величиной, соответствующей случайной величине
, называется отклонение случайной величины X от ее математического ожидания: 
Нетрудно показать, что математическое ожидание центрированной случайной величины равно 0.
Моменты центрированной случайной величины называются центральными моментами.
Центральным моментом
го порядка случайной величины X называется математическое ожидание 
й степени соответствующей центрированной случайной величины:
Очевидно, что для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю
Дисперсия
Второй центральный момент случайной величины, ввиду его крайней важности среди других характеристик, называется дисперсией и обозначается
, т.е. 
= 
Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние (вариацию, разброс) этой величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия
имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину 
, называемую среднеквадратическим отклонением случайной величины X.Свойства дисперсии
1. Дисперсия константы равна нулю: D[C] = E[(C - E[C])2]=E[(C- C)2]=0
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат, т.е.
3. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.
4. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания D[X]=E[X2]-(E[X])2.
Задачи на вычисление характеристик дискретных случайных величин
Задача 39. Пусть распределение случайной величины X задано таблицей
| pi | p | q = 1-p |
| xi | 1 | 0 |
Распределение такой случайной величины называется распределением Бернулли.
Вычислить математическое ожидание, дисперсию, начальный и центральный моменты порядка s для случайной величины Х.
Решение.
E[X]=p∙1+q∙0=p, D[X]=E[X2] –(E[X])2=p-p2=pq, αs=p, μs=p∙(1-p)s +q∙(-p)s.
Задача 40. Пусть производится n независимых испытаний с вероятностью успеха p в одном испытании. Пусть X равно общему числу успехов. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
Решение.
где Xi =1, если был успех в испытании с номером i , и Xi =0, если в этом испытании была неудача. Тогда Xi независимы, поскольку испытания независимы, и каждая случайная величина имеет распределение Бернулли, математическое ожидание которого было вычислено в предыдущей задаче. Поэтому 
Задача 41. Пусть случайная величина X принимает значения 1, 2, …, 2 n , с вероятностями, соответственно равными 1/2, 1/8, 1/32,…, 21-2n ,… . Определить E[X] и D[X].
Решение. E[X]= 1∙1/2+2∙ 1/8+4 ∙1/32 +….+ 2 n ∙ 21-2n +…= ½+1/4+1/8+…21-n+…=(1/2)/(1-1/2)=1. (Используется формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии S=b1/(1-q), b1 –первый член прогрессии, q- знаменатель прогрессии).
E[X2] = 1/2 ∙ (1) 2+1/8 ∙ (2) 2+ 1/32 ∙ (4) 2+…+21-n∙ (2 n )+ …=1/2+1/2+…=∞.
D[X] = E[X2]- (E[X]) 2. Таким образом, эта случайная величина имеет бесконечную дисперсию.
Задача 42. Распределение случайной величины определяется таблицей
| х | 0 | π/6 | π/2 | 5π/6 | π |
| p | 1/10 | 3/10 | 1/10 | 2/10 | 3/10 |
Найти E[(sinX)] и D[(sinX)].
Уже говорили, что будем пользоваться верной для любой функции h(x) формулой E[h(x)]=
Решение. E[(sinX)]=sin(0)1/10+sin(π/6)3/10+sin(π/2)1/10+sin(5π/6)∙2/10 +sin(π)3/10=3/20+1/10+1/10=7/20.
E[(sinX)2]=[sin(0)]21/10+[sin(π/6)] 23/10+[sin(π/2)] 2 1/10+[sin(π)] 2 3/10 =3/40+1/10+1/20=9/40.
D[X] = 9/40 – 49/400 = 41/400.
Задача 43. На гранях тетраэдра написаны цифры 1,2,3,4. Тетраэдр бросают на плоский стол. Если тетраэдр падает на стол гранью с цифрой i , то выдают i2 рублей. Найти математическое ожидание выигрыша, если тетраэдр бросили 10 раз.
Решение. Пусть Xj - выигрыш при j-ом бросании. Тогда
E[Xj]=1/4(1+4+9+16)=15/2. E[X] =10 ∙М[Xj]=75
E[Xj]2=1/4(1+16+81+256)=177/2
D [Xj]= 177/2 – (15/2.)2= (354 - 225)/4 = 129/4
D[X] = ∑ D [Xj] = 10 ∙129/4 = 645/2
Задача 44. У двух стрелков A и B имеется 6 патронов на двоих. Вероятности попадания при одном выстреле равны 3/4 и 1/2 соответственно. Стрельба ведется попеременно до первого попадания, или пока не кончатся патроны. Перед стрельбой стрелки бросают жребий, кому стрелять первым. Найти математическое ожидание и дисперсию числа X израсходованных патронов.
Решение. Пусть H1 и H2 полная группа событий, H1 состоит в том, что первым стреляет стрелок A, H2 состоит в том, что первым стреляет стрелок B. Тогда по формуле полной вероятности
P(X=1) =1/2∙ 3/4 +1/2∙ 1/2 =5/8 (попадание при первом выстреле).
P(X=2) =1/2∙ (1/4∙ 1/2 +1/2∙ 3/4) =1/4 (попадание при втором выстреле).
P(X=3) =1/2∙ (1/4∙ 1/2 ∙ 3/4+1/2 ∙ 1/4 ∙ 1/2) =5/64 (попадание при третьем выстреле).
P(X=4) =1/2(1/4 ∙ 1/2 ∙ 1/4 ∙1/2+1/2 ∙ 1/4 ∙ 1/2 ∙ 3/4) =1/32
P(X=5) =1/2(1/4 ∙ 1/2 ∙ 1/4 ∙ 1/2 ∙ 3/4+1/2 ∙ 1/4 ∙ 1/2 ∙ 1/4 ∙ 1/2 = 5/512
P(X=6) =1-5/8-1/4-5/64-1/32-5/512=3/512 (здесь учтено попадание при 6-ом выстреле и все промахи).
E[X] =1∙ 5/8+2∙1/4 +3∙5/64 +4∙ 1/32 +5∙ 5/512 +6∙ 3/512= 723/512
Дисперсия находится по формуле D[X]=E[X2]-(E[X]) 2.
E[X]2 =12 ∙ 5/8+22 ∙ 1/4 +32 ∙ 5/64 +42 ∙ 1/32 +52 ∙ 5/512 +62 ∙ 3/512 =
= 5/8 + 1 + 5/6 + 1/2 + 125/512 +108 /512 = (5∙64 +5∙82 +256 +125 +108)/512 =
(320 + 410 +381 +108)/512 = (730 + 589)/512 = 1329/512.
D[X] = 1329/512-(723/512)2=0.6.
Непрерывные случайные величины
Случайная величина X имеет непрерывное распределение, если ее функция распределения F(x) может быть представлена в виде
Функции распределения непрерывных случайных величин обладают теми же свойствами, которые мы перечислили для функций распределения дискретных случайных величин. Она является непрерывной неубывающей функцией, имеющей предел на бесконечности, равный 1, и предел на минус бесконечности, равный нулю.
Функция f(y) называется плотностью распределения случайной величины X. Эта функция полностью определяет распределение случайной величины X.