5. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ, НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ.

Условная вероятность события A при выполнении события B обозначается P(A|B).

Условной вероятностью события A при выполнении события B называется отношение P(A|B) =

Здесь предполагается, что P(B)>0.

В качестве разумного обоснования этого определения отметим, что при наступлении события B оно начинает играть роль достоверного события, поэтому надо потребовать, чтобы P(В|B) =1. Роль события A играет AB, поэтому P(A|B) должна быть пропорциональна P(АB).

(Из определения следует, что коэффициент пропорциональности равен 1/P(В))

Независимость событий

События A и B называются независимыми, если P(A|B)=P(A).

Это означает: оттого, что произошло событие B, вероятность события A не изменилась.

С учетом определения условной вероятности, это определение сведется к следующему соотношению P(AB) = P(A)P(B). В этом соотношении нет необходимости требовать выполнения условия P(B)>0.Таким образом, приходим к окончательному определению.

События A и B называются независимыми, если P (AB) = P(A)P(B).

Последнее соотношение обычно и принимают за определение независимости двух событий.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если подобные соотношения выполняются для любого подмножества рассматриваемых событий. Так, например, события A,B,C, независимы в совокупности, если выполняются соотношения

P(ABC)=P(A)P(B)P(C), P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(CB)=P(C)P(B).

Задачи на условную вероятность и независимость событий

Задача 21.. Из полной колоды из 36 карт вытаскивают одну карту. Событие A - карта красная, B – карта туз. Будут ли они независимы?

Решение. Согласно классическому определению вероятности P(B)= 1/9 P(A)=1/2, P(AB)=1/18. Это означает, что события A и B .независимы.

Задача 22. Решить ту же задачу для колоды, из которой удалена дама пик.

Решение. P(A)=18/35, P(B)=4/35, P(AB)=2/35. Независимости нет.

Задача 23. Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у которого первым выпадет герб. Найти вероятности выигрыша для обоих игроков.

Решение. Можно считать, что элементарные события – это конечные последовательности вида (0,0,1,…,0,1). Для последовательности длины n соответствующее элементарное событие имеет вероятность

Игрок, начинающий бросать монету первым, выигрывает, если реализуется элементарное событие

, состоящее из нечетного числа нулей и единиц. Поэтому вероятность его выигрыша равна

1/2 + 1/8+1/32 + ….=

Выигрыш второго игрока соответствует четному числу нулей и единиц. Он равен

1/4+1/16 +1/64+…..=

Из решения следует, что игра заканчивается за конечное время с вероятностью 1.(т.к. 1/3+2/3=1).

Задача 24. Для того чтобы разрушить мост, нужно попадание не менее 2 бомб. Сбросили 3 бомбы с вероятностями попадания 0.1, 0.3, 0.4. Найти вероятность разрушения моста.

Решение. Пусть события A,B,C состоят в попадании 1,2,3 бомбы соответственно. Тогда разрушение моста соответствует событию

В силу того, что слагаемые в этой формуле попарно несовместны, а сомножители в слагаемых независимы, искомая вероятность равна

(0.1)(0.3)(0.4)+ (0.1)(0.3)(0.6)+ (0.1)(0.7)(0.4)+ (0.9)(0.3)(0.4)=0.166.

Задача 25. К одному и тому же причалу должны пришвартоваться два грузовых судна. Известно, что каждое из них может с равной вероятностью подойти в любой момент фиксированных суток и должно разгружаться 8 часов. Найти вероятность P(A) того, что судну, пришедшим вторым не придется дожидаться, пока закончит разгрузку первое судно.

Решение. Будем время измерять в сутках и долях суток. Тогда элементарные события – это пары чисел (x,y), заполняющие единичный квадрат, где x - время прихода первого судна, y – время прихода второго судна. Все точки квадрата равновероятны. Это означает, что вероятность любого события (т.е. множества из единичного квадрата) равна площади области, соответствующей этому событию. Событие A состоит из точек единичного квадрата, для которых выполняется неравенство |x-y|>1/3. Это неравенство соответствует тому, что судно, пришедшее первым, успеет разгрузиться к моменту прихода второго судна. Множество этих точек образует два прямоугольных равнобедренных треугольника со стороной 2/3. Суммарная площадь этих треугольников равна 4/9. Таким образом, P(A)=4/9.

Задача 26. На экзамене по теории вероятностей было 34 билета. Студент дважды извлекает по одному билету из предложенных билетов (не возвращая их). Студент подготовился лишь по 30-ти билетам? Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, выбрав первый раз «неудачный билет»?

Решение. Случайный выбор состоит в том, что два раза подряд извлекают по одному билету, причем вытянутый в первый раз билет назад не возвращается. Пусть событие В – «в первый раз вынут «неудачный» билет»», событие А – «во второй раз вынут «удачный» билет»». Очевидно, что события А и В зависимы, т.к. извлеченный в первый раз билет не возвращается в число всех билетов. Требуется найти вероятность события АВ

По формуле условной вероятности Р(АВ) = Р(А/В)∙Р(В);Р(В) = 4/34; Р(А/В) = 30/33, поэтому Р(АВ) =

=0.107.

6. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

События

образуют полную группу событий, если они попарно несовместны (не пересекаются) и их сумма (объединение) есть достоверное событие

Если события А₁, А₂,….А _n образуют полную группу событий, то для любого события А справедливо равенство

Это соотношение называется формулой полной вероятности

Задачи на формулу полной вероятности

Задача 27. Из полного набора костей домино (28) костей выбирают 2 кости. Определить вероятность того, что их можно приставить друг к другу согласно правилам игры в домино.

Решение. Пусть событие A₁ - первая кость дупель, A₂- первая кость – не дупель, A - событие, определяемое вопросом задачи. Тогда события A₁ и A₂. Поэтому, по формуле полной вероятности

P(A)=P(A|A₁)P(A₁)+P(A|A₂)P(A₂)=6/27 ∙1/4 +12/27 ∙3/4 =1/18+1/3=7/18.

Задача 28. Компьютеры одной марки производят 2 предприятия. Первое предприятие выпускает 3/4 всех компьютеров, второе -1/4. На первом предприятии 1% брака, на втором – 2%. Найти вероятность того, что купленный вами компьютер исправен.

Решение. Пусть полная группа событий, необходимая для применения формулы полной вероятности, состоит из двух событий: A₁ – «компьютер куплен на первом заводе» и A₂ – «компьютер куплен на втором заводе». Тогда, согласно формуле полной вероятности, вероятность купить бракованный компьютер, равна 3/4 • 0.01+1/4• 0.02=0.0125.

Задача 29. По цели независимо сбросили две бомбы. Вероятность попадания для каждой бомбы равна 1/2. При попадании одной бомбы цель поражается с вероятность 1/2, а при попадании двух бомб она поражается с вероятностью 2/3. Найти вероятность поражения цели.

Решение. Пусть события H₁, H₂ и H₃ состоят в попадании 0, 1 и 2 бомб соответственно. Событие A состоит в поражении цели. По формуле полной вероятности

P(A)=P(A|H₁)P(H₁)+ P(A|H₂)P(H₂)+ P(A|H₃)P(H₃).

P(A|H₁)=0, P(A|H₂)=1/2, P(A|H₃)=2/3, P(H₂)= ½, P(H₃)=1/4.

Поэтому, P(A)= (1/2)(1/2)+(2/3)(1/4)=5/12.

7. СХЕМА БЕРНУЛЛИ

Предположим, что имеется n независимых испытаний с двумя исходами в каждом испытании. Один из исходов будем называть успехом и кодировать цифрой 1, другой исход будем называть неудачей и кодировать цифрой 0. Предполагаем, что вероятность успеха в каждом испытании одна и та же и равна числу p, следовательно, вероятность неудачи равна q=1-p. Эта схема, очевидно, является обобщением схемы независимого бросания монеты.

Пусть P_n^m – вероятность того, что общее число успехов равно m. Тогда основная формула схемы Бернулли имеет вид P_n^m=C_n^m p^m qⁿ^-^m.