Вероятностью события А называется отношение

Таким образом, вычисление вероятности события сводится к выполнению следующих действий:

1. определение множества элементарных событий,

2. вычисление их количества (n),

3. определение множества элементарных событий из которых состоит событие А,

4. вычисление их количества (m(A)),

5. вычисление отношения.

Задачи на классическое определение вероятности.

Буквой A обозначаем событие, фигурирующее в условии задачи.

Задача 15. Корреспонденция разносится в 5 адресов. Разносчик забыл дома очки и разнес корреспонденцию случайным образом. Какова вероятность того, что вся корреспонденция попала к своим адресатам?

Решение. Элементарным событием является перестановка из 5 адресов. Их число равно

По смыслу задачи все они равновероятны. Поэтому P(A)= 1/120.

Задача 16. Цифры 0,1,2,3 написаны на четырех карточках. Карточки расположили в случайном порядке. Какова вероятность того, что из них сложено 4-х-значное число?

Решение. Элементарным событием является перестановка из 4 карточек. Их всего 4!. Поскольку четырехзначное число не может начинаться с нуля, то событие A состоит из тех перестановок, которые начинаются с карточки с не равной нулю цифрой. Их всего 4!-3!=18. Поэтому P(A)= 18/4! =18/24=3/4.

Задача 17. В хоккейном турнире участвуют 6 равных по силе команд. Каждая команда должна сыграть с каждой одну игру. У Вас есть любимая команда. Вы пришли «поболеть» на турнир на одну из игр, выбранных случайно. Какова вероятность того, что в этой игре будет играть Ваша любимая команда?

Решение. Общее число проведенных игр равно C₆²=15. Любимая команда участвует в 5 играх из 15. Поэтому P(A)= 5/15 = 1/3.

Задача 18. В ящике разложено 20 деталей. Известно, что 5 из них являются стандартными. Рабочий случайным образом берет 3 детали. Какова вероятность того, что хотя бы одна деталь стандартная?

Решение. Элементарным событием является сочетание из 20 деталей по 3. Количество таких сочетаний равно C₂₀³. В соответствии с решением задачи 11, число сочетаний, содержащих хотя бы одну стандартную деталь равно C₂₀³- C₁₅³=685. Поэтому P(A)=

Задача 19. Из 7 карточек разрезной азбуки составлено слово колокол. Эти карточки рассыпали и затем собрали в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово колокол?

Решение. На карточках имеется 3 буквы о, 2 буквы к, 2 буквы л. Поэтому, первая буква слова колокол может быть выбрана двумя способами, вторая – 3 способами, третья – 2 способами. При уже выбранных первых трех буквах четвертая буква может быть выбрана еще 2 способами (поскольку одна буква о уже выбрана). Остальные буквы могут быть выбраны только одним способом. Таким образом (см. решение задачи 12), число перестановок карточек, реализующих слово колокол равно произведению чисел 3, 2, 2, 2 т.е. равен 24. Общее число перестановок карточек равно 7!.Поэтому P(A)=

Задача 20. Частица выходит из точки начала координат. Каждую секунду она с равной вероятностью движется либо на 1 вверх, либо на 1 вправо. Какова вероятность того, что траектория частицы пройдет через точку с координатами (m,n)?

Решение. В точку с координатами (m,n) частица может попасть ровно через (n+m) секунд. Все траектории такой длины будем считать равновероятными элементарными событиями. Поскольку каждую секунды у частицы только две альтернативы движения, то общее число элементарных событий равно

. Число элементарных событий, входящих в событие A, было вычислено в задаче 9 раздела «Элементы комбинаторики». Поэтому P(A)=

4. СОВРЕМЕННОЕ ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

В классическом случае мы вводили множество всех равновероятных элементарных событий. Это определение оказалось слишком узким, поскольку не позволяло описать многие полезные и интересные вероятностные задачи. Теперь мы откажемся от предположения их равновероятности. Сначала рассмотрим дискретный случай, т.е. случай, когда множество всех элементарных событий конечно или счетно.

Обозначим, как и раньше, множество всех элементарных событий

, а его элементы ω₁, ω₂, .... назовем элементарными событиями. Введем для каждого элементарного события ω _i его вероятность p(ω_i), удовлетворяющую условиям

1. p(ω _i )

Событие А, как и раньше, - это множества элементарных событий.

Тогда вероятность события A определяется равенством

Ранее рассмотренное классическое определение вероятности соответствует тому случаю, при котором p(ω_i)=1/n, где n –общее число элементарных исходов.

Свойства вероятности.

Вероятность обладает следующими свойствами.

1. Р(

) = 1.

(Поскольку

- все элементарные события, то Р(

) - это вероятность достоверного события)

2. Если множество элементарных событий А и В не имеют общих элементов (несовместны) , то, P(A∪B)=P(A)+P(B).

3. Пусть

- пустое множество элементарных событий, тогда
(пустое множество слагаемых.)

т.к.
и А не пересекаются и в объединении дают достоверное событие. (
- противоположное событие)

5. Теорема сложения вероятности

Все эти свойства легко выводятся из определения вероятности события.

Определение вероятности в общем случае сложнее, чем в дискретном.

Как и для дискретного случая введем множество всех элементарных событий

, которое теперь может быть и несчетным. К сожалению, мы не можем считать событиями все подмножества

, поскольку это приводит к математическим неприятностям. Поэтому, предполагается, что выделяется некоторая группа F

подмножеств

, называемая σ-алгеброй событий. Таким образом, события – это только элементы σ-алгебры F. Предполагается, что σ-алгебра F устроена таким образом, что конечные или счетные суммы и произведения событий являются событиями,

является событием, а также дополнение любого события является событием.

Теперь предположим, что для каждого события A определена его вероятность P(A), обладающая свойствами:

1. P(A)≥0,

2. P(∑A_n)= ∑P(A_n), если события A_n попарно несовместны.

Здесь количество слагаемых в суммах может быть конечным или счетным.

3. P(

)=1.

Приведенные соотношения образуют аксиоматику Колмогорова, на которой построена вся современная теория вероятностей. Можно доказать, что свойства 1-5, сформулированные для дискретного случая, останутся справедливыми и при общем определении вероятности. В общем случае определение вероятности и вывод ее основных свойств технически сложнее, чем в дискретном случае. Тем не менее, почти все трудные места теории вероятностей можно проследить на дискретном случае. Поэтому, дискретный случай у нас разобран наиболее полно.