Задачи по курсу общей физики для студентов астрономического отделения. (1) (стр. 1 из 3)
Бычков К.В.(1), Сараева И.М.(2)Кинематика материальной точки.
Задачи по курсу общей физики
для студентов астрономического отделения.
(1)Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга
(2)Физический факультет МГУ, кафедра общей физики
Введение
В основе предлагаемой работы лежит опыт семинарских занятий по курсам общей физики и астрономии для студентов астрономического отделения физического факультета МГУ.
При изучении механики материальной точки, в особенности её разделов, связанных с движением по криволинейной траектории, часто оказываются полезными астрономические приложения. В условиях поверхности Земли набор естественных траекторий практически сводится к параболе. В космосе, наоборот, представлены многие типы криволинейного движения: вращение по окружности, а также эллиптические, параболические и гиперболические траектории разной степени вытянутости. К тому же формы орбит космических объектов не ограничиваются одними коническими сечениями. Например, обращение звёзд вокруг центра галактики во многих случаях не описываются законами Кеплера, а в процессе сжатия вращающихся газовых туманностей имеет место постепенное приближение к центру по спирали. Параллельно с физическим содержанием задачи уместно привести и первые сведения о математическом аппарате плоских кривых линий.
Другим аспектом является соотношение между прямыми и обратными задачами. Для лабораторных условий типична прямая постановка: требуется вычислить параметры траектории тела, зная действующие на него силы. В астрономии как наблюдательной науке важен и обратный подход, когда по известному движению выясняют характер взаимодействия. Часть предлагаемого материала даёт студентам первое представление об обратных задачах. С методической точки зрения решение обратной задачи, как правило, проще и нагляднее. Поэтому имеет смысл показать одну и ту же задачу дважды: сначала в разделе «кинематика» как обратную, и затем, после приобретения студентами опыта, в разделе «динамика» выполнить решение более сложной прямой задачи. Перейдём к изложению материала, предварительно договорившись о некоторых обозначениях. Координаты точки, движущейся в плоскости, как обычно, равны x и y, время - t, а для параметров движения оставляем буквы a, b, k, w, j. Векторы представляем прямыми жирными символами: r – радиус вектор частицы, v – её скорость, w – ускорение. Точка над символом описывает дифференцирование по времени.
I Определение траектории, скорости и ускорения точки из закона движения в декартовых координатах.
Во всех задачах этого раздела требуется определить форму траектории, найти векторы скорости и ускорения, а также восстановить динамический закон движения.
Задача 1. Точка движется в плоскости. Её координаты x и y зависят от времени t как
(1) 
(2)где a, b, ω и φ - параметры.
Если a либо b равны нулю, то имеет место прямолинейное движение вдоль той или иной координатной оси. Оно происходит внутри отрезка длиной 2a, либо 2b, центр которого расположен в начале координат. Предположим, что оба этих параметра отличны от нуля. Разделим первое уравнение на a, второе - на b и раскроем косинус суммы:
, ( 3 ) 
. ( 4 )Исключим время t из уравнений движения. Сначала рассмотрим два особых случая. При
получается эллипса, ориентированный параллельно осям: 
,а значению
соответствует уравнение отрезка прямой 
.В случае, когда оба этих параметра отличны от нуля, с помощью ( 3 ) выразим
и 
через x/a и подставим результат в ( 4 ). После несложных преобразований получим уравнение эллипса, ориентация которого определяется величиной φ:  Рис. 1. Наклонный эллипс. |
.Роль параметра φ ясна из Рис. 1. Теперь определим кинематические характеристики траектории и попытаемся выяснить направление действующей силы. На Рис. 1 единичные векторы i и j, направлены вдоль координатных осей. Напишем выражение для радиус-вектора точки, с координатами ( 1 ) и ( 2 ):
.Векторы скорости и ускорения получаются последовательным дифференцированием r:
,
.
Из последних двух формул вытекает связь между ускорением и радиус-вектором:
. ( 5 )Мы получили хорошо известное уравнение пространственного осциллятора. Частица массы m движется под действием центральной притягивающей силы, по абсолютной величине равной mω2r.
Пространственный осциллятор является важным методическим инструментом в атомной физике и оптике — двух активно используемых в астрофизике разделах общей физики. Знакомство с ним на семинарах по механике облегчает в дальнейшем освоение темы поляризованного излучения, а также анализ эффектов Зеемана и Штарка.
Задача 2 Точка движется по закону
с параметрами a, b и k. Случай k=0 здесь не представляет интереса. Равенство нулю a или b означает прямолинейное перемещение вдоль одной из координатных осей. Если они оба отличны от нуля, то траектория является отрезком гиперболы y=ab/x.
 Рис. 2. Гипербола y=ab/x. |
Не теряя общности, мы можем считать a и b положительными[1]. Они равны координатам точки в начальный момент времени:
,которая в дальнейшем будет двигаться вправо. Вычислим вектор скорости
,его абсолютную величину
и вектор ускорения
 Рис. 3.Повёрнутая гипербола |
.Тело отталкивает центральная сила mk2r.
Задача 3. Точка движется в плоскости :
, (6) 
. ( 7 )Вычтем квадраты уравнений, делённых на a и b соответственно:
.Получилась гипербола, как и на Рис. 2, но оси координат повёрнуты на 45°. Её график приведён на Рис. 3. Дифференцируя (6) и (7) по времени, получим вектор скорости
и ускорения
.Легко убедиться, что и здесь на тело действует отталкивающая сила F=mk2r. Итак, одна и та же сила может обуславливать внешне различающиеся типы движения. На частном примере мы увидели проявление важного принципа: динамический закон является более общей характеристикой движения, чем кинематические параметры.
 Рис. 4. Винтовая линия |
Задача 4. Заряженная частица совершает пространственное движение в однородном и постоянном магнитном поле:
с постоянными параметрами R, vz, w. Складывая квадраты первых двух уравнений, получаем винтовую линию
с шагом
. Винтовая линия изображена на Рис. 4. Из закона движения вытекают следующие выражения для вектора скорости 