Задачи по курсу общей физики для студентов астрономического отделения. (1) (стр. 3 из 3)
Связь между модулями скорости и радиус‑вектора проще всего вычислить с помощью формулы ( 17 ):
.Задача 10. Точка движется в плоскости по закону
с параметрами r0 и a. Определить траекторию, скорость и обе компоненты ускорения.
Исключив время t, получим изображённую на Рис. 6 гиперболическую спираль
 Рис. 6 Падение на центр |
. По формуле ( 17 ) вычисляем модуль скорости: 
.Начальный наклон траектории на Рис. 6 определяется соотношением между двумя компонентами скорости. По формуле ( 8 ) легко найти, что для начального момента времени:
. Траектория направлена противоположно оси абсцисс и наклонена к ней под углом 45˚. В рассматриваемой задаче величина секторной скорости постоянна: 
.Следовательно, трансверсальное ускорение равно нулю; т.е. притягивающая сила направлена вдоль радиус‑вектора. По формуле ( 13 ) определим радиальное ускорение
.Таким образом, частица падает на притягивающий центр под действием силы, обратно пропорциональной кубу расстояния.
III Проекция ускорения на естественные оси.
Естественными осями при изучении криволинейного движения на плоскости принято считать касательную и нормаль к траектории. Тангенциальная и нормальная компоненты векторов часто позволяют полнее раскрыть физический смысл рассматриваемого движения. Вводимые ниже понятия напоминают те, которыми мы пользовались в полярной системе координат, но они не зависят от выбора системы отсчёта.
Задача 11. Движение точки в плоскости описывается в декартовых координатах как x=x(t), y=y(t). Определить проекции скорости и ускорения на естественные оси, а также радиус кривизны траектории.
 Рис. 7. Касательная и нормаль |
Направим координатные оси τ и n вдоль касательной и нормали к траектории, как показано на Рис. 7. Обозначим eτ и en единичные векторы вдоль соответствующих осей. Вектор eτ направлен вдоль скорости:
.Формула
позволяет получить удобное выражение для тангенциального ускорения. Продифференцировав её по времени, получим 
.Так как длина вектора
не меняется, то 
направлен ортогонально к . Отсюда 
. ( 19 )Вектор нормали en ищем в виде
,где подлежащие определению проекции a и b удовлетворяют условиям нормировки
и ортогональности:
.Из двух решений этой системы уравнений мы выбираем такое, при котором вектор нормали направлен в сторону вогнутости траектории, как на Рис. 7:
.Проекция ускорения на касательную wτ равна скалярному произведению
. ( 20 )Аналогично вычисляем wn:
. ( 21 )Перейдём к вычислению радиуса кривизны ρ траектории в данной точке. Он задаётся условием
 Рис. 8 Радиус кривизны. |
,где ds — смещение вдоль траектории, соответствующее изменению угла dφ. Обе эти величины на Рис. 8 считаем бесконечно малыми. Следовательно, можно пренебречь изменением абсолютной величины скорости на отрезке ds и воспользоваться известной формулой для центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности:
.Подставляя сюда ( 21 ), приходим к
.Радиус кривизны бесконечно велик в случае прямолинейной траектории.
 Рис. 9. |
Задача 12. Точка описывает эллипс
.Определить нормальную и тангенциальную компоненты ускорения, а также радиус кривизны траектории в точках A и B Рис. 9.
Рассматриваемое движение является частным случаем Задача 1. Подставив ( 5 ) в ( 20 ), приходим к
.Аналогичным путём получаем формулы для нормального ускорения
и для радиуса кривизны
.Подставляя в них зависимость x и y от времени, получаем для точки A:
и для точки B:
.Задача 13. Частица движется в плоскости по траектории r=acosφ. В начальный момент времени φ=0, а скорость направлена перпендикулярно радиус‑вектору. Секторная скорость постоянна и равна K/2. Определить связь между модулями v и r , а также компоненты ускорения: тангенциальную, нормальную, радиальную и трансверсальную.
При постоянном K величина v однозначно выражается уравнением траектории:
.Здесь мы воспользовались обозначениями Задача 6 и формулой ( 15 ). Подставляя
,приходим к следующему выражению для v2:
,откуда
.  Рис. 10. Компоненты вектора ускорения. |
В интервале углов
траектория представляет собой окружность радиусом a/2 с центром в точке x=a/2, y=0. На Рис. 10 показаны все четыре компоненты вектора ускорения.. Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории. Воспользуемся формулой ( 19 ) Задача 11: 
. При известных значениях скорости и радиуса кривизны нормальное ускорение рассчитываем по формуле 
.Трансверсальное ускорение равно нулю. Вычисление радиальной компоненты можно упростить следующим образом. Нам известны компоненты вектора
в разложении по 
и 
. Из Рис. 10 видно, что они равны cosφ и sinφ соответственно. Компонента wξ равна скалярному произведению векторов w и eξ: 
.Подставляя сюда полученные выше выражения для wn и wτ , получаем 
.Тело движется под действием притягивающей силы, величина которой обратно пропорциональна r5.[1] Знаки a и b определяют квадрант, в котором находится гипербола.