Завершено построение основ теории характеристических классов мультиособенностей. Получена основная формула, выражающая эти классы через классы Ландвебера-Новикова.
Доказано, что ацикличный n-мерный компакт с тривиальными (n+1)-мерными локальными когомологиями с компактным носителем вкладывается в 2n-мерное евклидово пространство. (МИАН)
Доказано , что второй член знаменитой спектральной последовательности Грэйсона совпадает с мотивными когомологиями.
Даны оценки снизу объемной энтропии для граф-поверхностей и трехмерных граф-многообразий, исследовано поведения геодезических на пространствах Адамара и строение их границы на бесконечности. Найдены новые квази-изометрические инварианты метрических пространств. (ПО МИ РАН)
Исследованы квазиизометрические отображения областей в многомерных евклидовых пространствах. Установлено, что с точностью до изометрии пространства, отображение зависит непрерывно в смысле топологии классов Соболева от своего метрического тензора.(ИМ СО РАН)
Установлена структура образующихся за конечное время сингулярностей решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях, снабженных произвольной римановой метрикой. Доказано, что в ряде случаев общее число возникающих в процессе эволюции сингулярностей конечно, и за конечное время поток Риччи превращает исходное риманово многообразие в конечный набор новых многообразий, каждое из которых изометрично трехмерной сфере. Достигнут значительный прогресс в решении классических гипотез Терстена и Пуанкаре о геометризации трехмерных многообразий. (ПО МИ РАН)
Описаны группы голоморфных автоморфизмов большого класса 2-мерных гиперболических трубчатых областей. Доказано, что, кроме нескольких, явно описанных исключений, 2-мерные гиперболические трубчатые области голоморфно эквивалентны тогда и только тогда, когда их базы аффинно экивалентны. Для ограниченных 2-мерных областей Ренхардта, у которых границы не являются кусочно Леви-плоскими, показано, что собственные голоморфные отображения таких областей являются композициями элементарных отображений и голоморфных автоморфизмов.(МИАН)
Решена проблема Кнастера о вращении непрерывных функций на поверхности сферы в евклидовом пространстве. Установлено, что при достаточно больших размерностях пространства эта проблема имеет отрицательное решение.(МИАН)
Найдены критерии весовой ограниченности дробных интегралов типа Римана- Лиувилля с переменной областью интегрирования. Решена задача Хайнига-Синнамона о характеризации оператора типа Харди на монотонных функциях. (ВЦ ДВО РАН)
Разработаны основы обобщенного подхода Берлинга-Бьорка к теории ультрадифференцируемых функций и ультрараспределений, который приводит к теории, которая строго шире известных на сегодняшний день теорий ультрараспределений.
Построено квазидифференциальное исчисление в пространствах Канторовича; получены необходимые условия экстремума в многоцелевых оптимизационных задачах с квазидифференцируемыми данными. (ИПМИ ВНЦ РАН)
Предложен и разработан общий подход исследования разрушения решений нелинейных задач всех типов, включая нелинейные многомерные гиперболические уравнения, на основе нелинейной емкости, ассоциированной с нелинейным оператором.(МИАН)
В пространстве решений произвольного дискретного уравнения свертки построено интегральное представление решения со степенным ядром. При этом интеграл берется по нулевому многообразию характеристической функции уравнения.(ИМсВЦ УНЦ РАН)
Получено описание отображений, индуцирующих по правилу суперпозиции ограниченный оператор (или изоморфизм) пространств Соболева с первыми обобщенными производными.
Для произвольного интегрального функционала доказана плотность множества функций, на которых он одновременно устойчив и полунепрерывен снизу. (ИМ СО РАН)
В сепарабельном гильбертовом пространстве исследованы включения с многозначным возмущением и эволюционными операторами, являющимися субдифференциалами выпуклой функции. Показано, что множество достижимости исходного включения является равномерным по времени пределом в метрике Хаусдорфа последовательности множеств достижимости аппроксимирующих включений. В качестве приложений рассмотрены примеры управляемых систем с разрывными нелинейностями. (ИДСТУ СО РАН)
Построены новые квадратурные формулы для вычисления интегралов типа Коши. Даны оценки погрешности при любом приближении к контуру интегрирования.(ИПМИ ВНЦ РАН)
Разработан аналитический метод решения основных краевых задач для широких классов уравнений в частных производных дробного порядка. Впервые найден аналог условия А.Н. Тихонова для нелокального диффузионно-волнового уравнения. (НИИ ПМА КБНЦ РАН )
Для уравнения главного резонанса построена асимптотика двухпараметрического семейства решений с неограниченно растущей амплитудой. Этот результат дает ключ к пониманию авторезонанса, как явления значительного роста вынужденных нелинейных колебаний, инициированных малой внешней накачкой.(ИМсВЦ УНЦ РАН)
Описаны достаточно широкие и значимые с точки зрения экономических постановок классы задач, для которых необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума включают информацию об асимптотиках сопряженных переменных и гамильтониана управляемой системы. Указаны ситуации, когда эта информация гарантирует выполнение поточечных условий трансверсальности на бесконечности. (МИАН)
Развита теория разрешимости стационарных и эволюционных неравенств Навье-Стокса. Выяснена структура множества решений, которая гомеоморфна конечномерному компакту. Даны приложения к исследованию нелинейных краевых задач для системы Навье-Стокса и к задачам оптимального управления течениями вязкой несжимаемой жидкости. (ИПМ ДВО РАН)
Детально изучен метод расширенной резольвенты для линейных задач, ассоциированных (2+1)-мерным интегрируемым уравнением. Получена модификация метода обратной задачи, а также свойства решений Йоста и данных рассеяния. Дается формулировка бозон-фермионного соответствия в терминах безмассовых фермионных полей. Описаны свойства получаемых бозонных полей.(МИАН)
Введены и исследованы дискретные операторы Лакса на алгебраических кривых. Построены ассоциированные с этими операторами иерархии уравнений, обобщающих уравнения цепочки Тода. Показано, что эти уравнения линеаризуются с помощью спектрального преобразования и явно решаемы в терминах тэта-функций спектральных кривых. Найден новый тип вполне интегрируемых систем, связанных с дискретными операторами Лакса на семействе алгебраических кривых. (ИТФ РАН)
Найден специальный класс квадратичных гамильтонианов на SO(4) и SO(3,1), обладающих дополнительным интегралом степени не больше четырех. Получены новые интегрируемые случаи с интегралом степени 4.(ИТФ РАН)
Исследованы вопросы корректности задачи Коши для интегрируемых дискретных уравнений на плоских графах с 4-угольными гранями. Показано, что широкий класс дефектов в регулярных решётках не оказывает глобально влияния на распространение солитонов.(ИТФ РАН)
Для гамильтонианов псевдорелятивистких электронов атомов и положительных ионов доказана бесконечность дискретного спектра, отвечающего любому набору квантовых чисел системы и найден главный член асимптотики счетной функции этого спектра при приближении к сплошному спектру. (НИРФИ при ННГУ)
Разработана термодинамически согласованная модель нелинейной упругости, описываемая симметрической гиперболической системой. При этом лишь часть решений, подчинённых дополнительным уравнениям, совместны с системой. Только на этих решениях справедливы законы сохранения, которые обычно рассматриваются в виде уравнений, управляющих упругими процессами. (ИМ СО РАН)
Впервые исследована теоретико-игровая модель конкуренции Хотеллинга на плоскости. Найдено равновесие в игре ценообразования на рынке на плоскости и решена задача оптимального расположения фирм.(ИПМИ КарНЦ РАН)
Уточнены оценки Колмогорова, относящиеся к датчикам случайных чисел и сложностному определению случайности; найдены точные оценки значений параметров, при которых произвольный тест на случайность можно свести к ограниченной совокупности частотных тестов; изучены колмогоровские сложности начал бесконечных последовательностей; предложены способы порождения почти периодических последовательностей. (НСК РАН)
В прикладных исследованиях, связанных с математическим моделированием и вычислительной математикой, получены результаты, имеющие важное значение для техники, промышленности, медицины, социальных наук и пр. Ряд результатов, готовых к практическому применению, включен в т.3 Отчета.
Для широкого класса плотных матриц (дискретных аналогов типичных интегральных операторов) получены эффективные методы нелинейной аппроксимации, позволившие быстро решать линейные системы с числом неизвестных более 1 миллиона.(ИВМ РАН)
С помощью взвешенных графов перечислены общие экстремальные многочлены. Для специальных экстремальных многочленов получены явные формулы для вычисления интегралов с весом и сингулярных интегралов для параметров квадратурных формул типа Гаусса и др. (ИВМ РАН)
Получено математическое обоснование метода построения квазитрехмерных отображений областей произвольной размерности. Построены методы вычисления интегралов Фурье, эффективные при высоких частотах и для функций, аппроксимируемых произведением многочлена и экспоненты.(ИВМ РАН, ВЦ РАН)
Исследован класс обратных задач и задач управления для стационарной системы Стокса, возмущенной линейным кососимметрическим оператором; разработаны итерационные методы решения задач, базирующиеся на теории оптимального управления и теории прямых и сопряженных уравнений. (ИВМ РАН)
Построены и исследованы математические модели иммунной системы и системы поддержания энергетического гомеостаза, описывающие фундаментальные процессы адаптации и старения. Это позволяет лучше понять процессы, влияющие на продолжительность жизни и закономерности адаптации человека к изменениям среды обитания, выбрать эффективные методы коррекции. (ИВМ РАН)