Способы устного решения квадратных уравнений (стр. 4 из 5)
Пример. Рассмотрим уравнение 2х2 +8х +6 = 0.
Если b= а+c, то х 
= –1, х 
= 
. 8 =2 +6.
Значит корнями этого уравнения являются –1 и –3. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:
D= b 
– 4ас=8
– 4∙2∙6= 16.х = 
= 
= –3.
х = 
= 
= –1.
Отсюда следует, что если b= а+c, то х = –1, х = .
8. Способ переброски.
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Если а±b+c≠0, то используется прием переброски:2х2 – 11х+5=0 х2 – 11х+10= 0
х = 10; х =1. Корни уравнения необходимо поделить на 2.
Ответ: 5; 0,5.
9.Закономерность коэффициентов.
1) Если в уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент b равен (а2 +1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны
х = –а; х = –
.ax2 + (а2 +1)∙ х+ а= 0
Пример. Рассмотрим уравнение 6х2 +37х +6 = 0.
х = –6; х = –
. 2) Если в уравнении ax2 – bx + c = 0 коэффициент b равен (а2 + 1),а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны
х = а; х =
.ax2 – (а2 +1)∙ х+ а= 0
Пример. Рассмотрим уравнение 15х2 –226х +15 = 0.
х = 15; х = –
.3) Если в уравнении ax2 + bx – c = 0 коэффициент b равен (а2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны
х = –а; х =
.ax2 + (а2– 1)∙ х– а= 0
Пример. Рассмотрим уравнение 17х2 +288х – 17 = 0.
х = –17; х = 
.
4) Если в уравнении ax2 – bx – c = 0 коэффициент b равен (а2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны
х = а; х = –
.ax2 + (а2– 1)∙ х– а= 0
Пример. Рассмотрим уравнение 10х2–99 х – 10 = 0.
х = 10; х = –
. 10. Дидактический материал.
1. Решение неполных квадратных уравнений:
а) 4х2– 100= 0, б) 2х2+ 10х= 0,
4х2 = 100, х (2х+10) = 0,
х2 =25, х = 0 или 2х+10 = 0,
х =5. 2х = –10,
х = –5.
2. Решение квадратных уравнений по формуле:
а) 4х2+ 7х + 3 = 0.
D = b2 – 4ас = 72 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1, D >0; 2 корня;
х = 
=
= 
; х = 
=
= –1.
б) 4х2 – 4х + 1 = 0,
D = b2 – 4ас= 16 – 4∙4∙1 = 0, D = 0; 1 корень;
х=
3. Решение квадратных уравнений по теореме Виета:
а) х2 – 9х + 14 =0. б) х2 +3х – 28 = 0.
х1 +х2 = 9, х1 +х2 = –3,
х1· х2 = 14. х1· х2 = –28.
х =2; х
= 7. 
4. Свойства коэффициентов квадратного уравнения:
а) 4х2 – 12х +8х = 0. б) х2 – 6х + 5= 0.
а+ b+c= 0, х =1, х = 
. а+ b+c= 0, х =1, х = .
х =1, х = 2. х =1, х = 5.
5. Решение квадратных уравнений способом переброски.
а) 6х2 – 7х–3= 0.х2 – 7х–18= 0,
D = b2 – 4ас = (– 7)2 – 4· 1 ·(–18) = 49 +72 = 121, D >0; 2 корня;