Способы устного решения квадратных уравнений (стр. 3 из 5)
Ответ: 0,5;1
2) Если D= 0, то уравнение имеет один корень:
х = –
.Пример. Рассмотрим уравнение 9х2 +6х+1= 0.
а=9; b= 6; с=1,
D= b 
– 4ас=6
– 4ас=36–36= 0; 1 корень.х = –
= 
= – 0,3Ответ: – 0,3
3) Если D <0, то уравнение не имеет корней.
Пример. Рассмотрим уравнение 2x2 + х+2= 0.
а=2; b=1; с=2,
D= b – 4ас=1
– 4ас= 1 – 16= – 15; корней нет.6. Теорема Виета.
Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета.
Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.
Приведенное квадратное уравнение х2 – 7х + 10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. На примере видно, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Необходимо доказать, что любое приведенное квадратное уравнение, имеющее корни, обладает таким свойством.
Теорема: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Приведенное квадратное уравнение имеет вид:
х2 + bx + c = 0.
Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член буквой q:
х2 + px + q = 0.
Дискриминант этого уравнения D равен p2 – 4q.
Пусть D > 0. тогда это уравнение имеет два корня:
х 
= 
и х 
= 
.
Найдем сумму и произведение корней:
х + х = 
+ = 
= –p;
х ∙ х = ∙ 
= 
= 
= 
= q.
Следовательно,
х + х = –p, х ∙ х = q.
Пример. Рассмотрим уравнение х2 – 3х + 2 = 0.
D =1, уравнение имеет два корня. х1 = 2 и х2 = 1, p= –3; q= 2.
По теореме Виета х + х = – p, значит 2 + 1= 3;
х ∙ х = q, значит 2 ∙ 1= 2.
Следовательно х1 = 2 и х2 = 1 являются корнями уравнения х2 – 3х + 2 = 0.
При D = 0 корни уравнения можно вычислить по формуле
х = и x= 
.
Квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет корни х и х 
. равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид
х + х = –
, х ∙ х = 
.Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:
Теорема: Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение
равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2 + px + q = 0.
По условию т + п = – p, а т п = q. Значит, уравнение х2 + px + q = 0 можно записать в виде х2 – (т + п) х + т п= 0.
Подставив вместо х число т, получим:
т2 – (т + п) т + т п = т2 – т2 – т п + т п = 0.
Значит, число т является корнем уравнения.
Аналогично можно показать, что число п также является корнем уравнения.
Пример. Рассмотрим уравнение х2 +3х – 40=0.
D= 32+4 ∙40= 169.
По формуле корней квадратного уравнения получаем
х = 
; х = 
.
Отсюда х = –8; х = 5.
Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении
х2 +3х – 40=0 коэффициент р равен 3, а свободный член q равен –40. Сумма найденных чисел –8 и 5 равна –3, а их произведение равно –40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения х2 +3х – 40=0.
Способы устного решения квадратных уравнений.
7.Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
1) Если а+ b+c= 0, то х =1, х 
= .
Пример. Рассмотрим уравнение х2 +4х – 5= 0.
а+ b+c= 0, х =1, х = . 1+ 4+(–5)= 0.
Значит корнями этого уравнения являются 1 и –5. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:
D= b 
– 4ас= 4
– 4∙1∙(–5)= 36. х = 
= 
= – 5.
х 
= 
= 
=1.
Отсюда следует, что если а+b+c= 0,то х =1, х = .
2) Если b= а+c, то х = –1, х = 
.