Данная работа имеет большую практическую значимость, так как ее результаты обсуждались в школе на занятиях математического кружка и на заседании школьного научного общества. Кроме того, результаты работы могут использоваться в качестве дополнительного материала на уроках геометрии при изучении темы «Биссектрисы треугольника».

Представленная проектная работа имеет две части: в первой части рассматривается история открытия и доказательства английским ученым Франком Морлеем теоремы о трисектрисах треугольника; во второй части приводится оригинальное собственное доказательство авторами проекта теоремы Морлея для прямоугольного треугольника. Выполняя доказательство, авторы проявили эрудицию, смекалку и находчивость.

Данный проект имеет непосредственное отношение к одной теореме математики, которую окрестили “последним великим открытием планиметрии”. Сегодня она известна как теорема Морлея. Эта теорема является фундаментом многих исследований в области планиметрии и геометрии треугольника. Существует множество различных доказательств самой теоремы Морлея, но они раскрыли далеко не все тонкости, готовых принести пользу математике, а лишь затронули отдельный вопрос. Мы же в работе занялись исследованием некоторых особенностей, которые таит в себе теорема Морлея.

Актуальность рассматриваемой темы вытекает из того факта, что вопрос о трисектрисах треугольника и их свойствах еще недостаточно изучен, поэтому представляет интерес для изучения, с целью расширения наших знаний о математике и ее дальнейшем развитии.

Полученный результат оригинален и не был замечен нами ранее в литературе.

История открытия и доказательства теоремы Морлея

Франк Морлей (англ. Frank Morley, 9 сентября 1860 — 17 октября 1937) был математиком, который внёс большой вклад в алгебру и геометрию.

Родился в Англии в городке Вудбридж. Его родители были владельцами небольшого магазинчика.

В 1900 году Морлей закончил Колледж Хэверфорд. Почти всю свою жизнь он провел в США, хотя оставался английским гражданином. Несколько десятков лет Морлей был профессором математики университета имени Джона Гопкинса в Балтиморе – одного их старейших американских университетов.

Наряду с математикой он увлекался и шахматами и однажды сумел выиграть у его одного видного математика – Эммануила Ласкера, тогдашнего чемпиона мира по шахматам.

Пусть ABC – произвольный треугольник. Хорошо известно, что биссектрисы его углов пересекаются в одной точке. А что произойдет, если биссектрисы заменить трисектрисами? Фрэнк Морлей рассмотрел такую ситуацию и доказал, что точки M, N, K при любом исходном треугольнике ABC являются вершинами равностороннего треугольника. Морлей рассказал об этом поразившем его факте своим друзьям, те – в свою очередь – своим, и вскоре "теорема о трисектрисах треугольника", ныне известная как теорема Морлея, распространилась по миру в качестве своеобразного математического фольклора.

Наверное, все не один раз слышали о «неразрешимых» математических задачах. Именно о них ещё в 1792 году Парижская академия наук приняла вечное решение: «Отныне и впредь не рассматривать разрешение задач удвоения куба; трисекции угла; квадратуры круга». Именно поэтому исследования, связанные с упомянутыми вопросами долгое время не рассматривались в научных кругах.

Доказательство своей теоремы Морлей опубликовал в 1914 году – через 15 лет после того, как нашел его. В 1924 году он изложил это доказательство более подробно. Доказательство его теоремы весьма элегантно, но в то же время достаточно сложно. В настоящее время теорема имеет много доказательств, которые являются и тригонометрическими, и через аппарат комплексных чисел, и элементарные геометрические.

Теорема Морлея о трисектрисах — одна из самых удивительных теорем геометрии треугольника (трисектрисами угла называются два луча, делящие угол на три равные части).

Теорема утверждает:

Точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольник являются вершинами равностороннего треугольника.

Французский математик А. Леберг (1875-1941), используя элементарные средства, доказал, что среди точек пересечения всех трисектрис треугольника можно указать 27 троек, являющихся вершинами равносторонних треугольников. В частности, трисектрисы внешних углов треугольника, примыкающие к одной и той же стороне, попарно пересекаются в точках, являющихся вершинами равностороннего треугольника. Стороны равносторонних треугольников параллельны сторонам «основного» равностороннего треугольника Морлея.

Доказательство теоремы Франка Морлея для прямоугольного треугольника

Теорема: Точки пересечения смежных трисектрис углов прямоугольного треугольник являются вершинами равностороннего треугольника.

Дано: ∆ NEM,

угол NEM = 90˚,

углы E, N и M – поделены каждый на 3 равные части.

Доказать: ∆АВС – равносторонний.

Доказательство

Для удобства записи доказательства примем обозначения:

EM = 1, угол NME = 3β, CM = к , BM = z, NB = y, NA = x.

Из ∆ENM: EN = 1* tg3β, NM =

Из

ECM по теореме синусов:

→ k =

;

Из ∆ NBM по теореме синусов получим:

z =

;

Из ∆ NAE по теореме синусов получим:

→ x =

Из ∆ NBM получим:

→ y =

Откуда

= =

Ho: cos (30˚-β) =

*cosβ +

*sinβ =

(

cosβ + sinβ);

Задачи: расширение математического кругозора; развитие творческих способностей (стр. 1 из 2)

Введение

История открытия и доказательства теоремы Морлея

Доказательство теоремы Франка Морлея для прямоугольного треугольника