Задачи «про цены» формулы простых и сложных процентов. Задачи егэ (стр. 2 из 5)
Ao Ao(1-7*0.01)(1+7*0.01)7%
7%
Ao(1-7*0.01)
A=Ao(1-7*0.01)*(1+7*0.01) =Ao(1-49*0.0001) =Ao(1-0.49*0.01)
Ответ: Первоначальная цена понизилась на 0.49%.
Вывод: Если цена товара сначала снизилась на p%, а затем повысилась на p%, то первоначальная цена снизится, а результат не зависит от порядка произведенных преобразований
(1-p0.01)(1+p0.01) =(1-p20.0001).
Рассмотрим несколько задач про “цены” из ЕГЭ.
Демонстрационный вариант 2005г1
B9. Торговая база закупила партию альбомов и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше закупочной. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с закупочной ценой, если на распродаже он приобрел альбом за 70.2 р.?
Решение:
A0 – закупочная цена
A1=A0(1+30*0.01)- оптовая цена
A2=A1(1+20*0.01) – розничная цена
A3=A2(1-10*0.01) =70.2 – цена при распродаже
A3=A0(1+30*0.01)(1+20*0.01)(1-10*0.01) =70.2
A01.3*1.2*0.9=70.2
____________________________________________________________________
1) Интернет
A0=70.2/1.3*1.2*0.9=70.2/1.404=50
На сколько больше заплатил покупатель
70.2-50=20.2
Ответ: 20.2 р.
Вариант №5 2003г.
В8. В январе пакет акций стоил на 10% меньше, чем в феврале. В феврале этот же пакет акций стоил на 20% меньше чем в марте. На сколько % меньше стоимость пакетов акций в январе, чем в марте.
Решение.
A0 – стоимость пакета в марте
A1=A0(1-20*0.01) – в феврале
A2=A1(1-10*0.01) =A0(1-0.2)(1-0.1) – в январе
A2=A00.72
A0 - A2=A0-A00.72=0.28A0
Ответ: на 28%
1.4 Формулы простых и сложных процентов.
Задачи на проценты из ЕГЭ
Мы рассмотрели большое количество задач на проценты из ЕГЭ. Проанализировав, мы разделили их на группы.
1. Задачи про “цены” (мы их рассмотрели в пункте 1.3).
2.Задачи на процентный прирост, с применением формул простых и сложных процентов.
3.Задачи на смеси и сплавы:
а) задачи на нахождение массы вещества, меняющейся в результате изменения влажности;
b) задачи на нахождение концентрации раствора, процентного содержания вещества;
c) задачи, решаемые с помощью применения «закона сохранения массы и объёма».
2. Рассмотрим формулу « сложных % » и её частный случай.
Общая формула:
An=A0(1+0.01p1)*…*(1+0.01pn)
Частная формула:
An=A0(1+0.01p)n
A0 – начальное значение некоторой величины;
An – значение, которое получилось в результате нескольких изменений начальной величины;
n- количество изменений начальной величины; p – процент изменения.
Частный случай применяется тогда, когда некоторая величинаA0 изменяется несколько раз на один и тот же процент. Общая формула используется тогда, когда процент изменения не остается одним и тем же. Знак “+” применяется при подсчете увеличения цены товара. Знак “ - “ применяется при подсчете снижения цены.
Вариант №46 (2003г.)
B8. Зарплату повысили на p%. Затем новую зарплату повысили на 2p%. В результате двух повышений зарплата увеличилась в 1.32 раза. На сколько % зарплата была повышена во второй раз.
Решение:
A0 – начальная зарплата;
По формуле простых процентов найдем зарплату после повышения на p%:
A1=A0(1+0.01p), повысили на 2p%:
A2=A1(1+2p0.01) =A0(1+0.01p)(1+0.02p)
По условию A2=1.32A0
Получим уравнение: A0*(1+0.01p)(1+0.02p) =A01.32
0.02р2+3p - 32=0
Д=11.52
p1=10% 2p=20%
Вариант 31(2003г.)
B7. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов необходимо увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня?
Решение:
A0 – первоначальный уровень
A1=A0(1-20*0.01) - после уменьшения
A0=A1(1+p*0.01) =A0(1-20*0.01)(1+p*0.01)
1=0.8(1+0.01p)
1=0.8+0.008p
0.008p=0.2
P=0.2/0.008=25
Ответ: 25%.
Вариант №639 (2004г.)
B7. Если положить на вклад “Молодежный ” некоторую сумму денег, то ежегодно она увеличивается на 15% от имеющейся на вкладе суммы. Вкладчик положил на этот вклад деньги и два года не пополнял свой вклад и не снимал с него. Сколько рублей положил вкладчик, если через 2 года на его счете стало 15870 рублей?
Решение:
A0 – первоначальный вклад.
A1=A0(1+15*0.01) – через год
A2=A1(1+15*0.01) - через два года
A0(1+15*0.01)2=15870
A0(1.15)2=15870
A01.3225=15870
A0=12000 (рублей)
Ответ: 1200 рублей.
Вариант №3 (2003г.)
B7. За год стипендия студента увеличилась на 32%. В первом полугодии стипендия увеличилась на 10%. Определите, на сколько процентов увеличилась стипендия во втором полугодии.
Решение:
A0 – первоначальная величина стипендии,
p - процент повышения во втором полугодии,
Составляем уравнение
A0(1+10*0.01)(1+p*0.01) =A0(1+32*0.01)
1.1+1.1*0.01p=1.32
0.011p=0.22
p=20
Ответ: 20%.
3. Задачи на смеси и сплавы:
а) задачи на нахождение массы вещества, меняющейся в результате изменения влажности;
Вариант №5 (2003г.) В7. Влажность сухой цементной смеси составляет 18%. Во время перевозки из – за дождей влажность смеси повысилась на 2%. Найдите массу привезенной смеси, если со склада было отправлено 400кг.
Решение:
Влажность 18%, значит “сухое” вещество составляет 82%. Масса “сухого”
вещества: 400*0,82=328кг.
Влажность увеличилась на 2%: 18%+2%=20%,
“Сухое” вещество составляет 80%, но его масса до дождей и после дождей
остается прежней: 328кг это 80%=0.8
Применим правило нахождения количества по процентам, найдем: 328:0.8=410кг
Ответ: 410кг
b) задачи на нахождение концентрации раствора, процентного содержания вещества:
B7.Определить процент содержания спирта в растворе, полученном при смешивании пяти литров 20% и шести литров 35% растворов спирта.
Решение:
Количество “чистого” спирта в первом растворе
5*0.2=1, а во втором 6*0.35=2.10
Применим формулу процентного содержания вещества
масса смеси: 5+6=11
количество “чистого” вещества: 1+2.1=3.1
% содержания спирта в новом растворе 3.1/11*100=310/11=28(%)
Ответ: 28%.
Вариант №2 (2003г.)
B7. К 120г. раствора, содержащего 80% соли, добавили 480г. раствора, содержащего 20% той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе.
Решение:
Количество соли в 1 растворе: 120*0.8=96
во 2 растворе: 480*0.2=96
количество соли: 96+96=192
масса всего “нового” раствора: 120+480=600
% содержание соли в новом растворе: 192:600*100%=32(%)
Ответ: 32%.
с) задачи, решаемые с помощью применения «закона сохранения массы и объёма»:
1.Морская вода содержит 5% соли. Сколько кг пресной воды надо прибавить к 40кг морской воды, чтобы соли в последней составляло 2%?
Решение:
Найдем количество “чистой” соли в 40кг морской: 40*0.05=2
Пусть x. – количество пресной воды, которое будем добавлять к морской,
чтобы получить 2% раствор соли.
Найдем массу “чистой” соли в разведенном растворе: (40+x)0.02
Но, так как к морской воде добавляли пресную воду, то масса “чистой” соли не изменится, согласно закону сохранения массы. Получаем уравнение:
(40+x)0.02=2
0.8+0.02x=2
0.02x=1.2
x=60
Ответ: 60кг.
2. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы получить 140т стали с содержанием никеля в 30%.
Решение:
Пусть нужно взять Xт стали 1сорта, Yт стали 2 сорта: X+Y=140.
Масса “чистого” никеля в сплаве 30%: 140*0.3=42.
Сталь 1 сорта 5% никеля X*0.05
2 сорта 40% Y*0.40
(X*0.05+Y*0.40) – масса “чистого” никеля
Применяя закон сохранения массы, составим уравнение:
0.05X+0.4Y=42Получилась система: X+Y=140,
0.05X+0.4Y=42.
X=140-Y
0.05(140-Y) +0.40Y=42 Y=100 X=40 Ответ: 40т, 100т.
Задачи, которые рассмотрены в этой главе, взяты из жизни. Теперь мы можем не только получить ответ в задачах на проценты, но и его истолковать, соотнести с реальностью, проанализировать часто встречающиеся объявления об изменении цен, а также использовать полученные результаты на ЕГЭ.
Глава II. Про кредиты
2.1 Из истории кредитования
Возникновение банков тесно связано с появлением денег. Первыми банкирами по праву можно считать менял, обеспечивавших заезжих купцов нужными монетами. Обычно контора менялы располагалась недалеко от городского рынка. Здесь можно было обменять любые иностранные монеты на местные. Меняла тщательно взвешивал и проверял их качество. Постепенно менялы стали не только обменивать деньги, но и брать их на хранение. Часто роль банкиров выполняли монастыри, надежно хранившие за своими стенами большие денежные суммы денег. Экономические связи между людьми имеют не рассмотренные нами удивительные особенности. Она состоит во все нарастающем развитие взаимных долговых обязательств. Персонаж романа Франсуа Рабле «Гангантюа и Пантагрюэль» острослов Панунг едко подметил: «Природе легче было бы питать рыб в воздухе и пасти оленей на дне океана, чем терпеть скаредный мир, где никто бы ни дал в долг». [ 3,с. 181]
Предоставление денег в долг стало постоянным явлением очень давно - в период зарождения рабовладельческого общества. Тогда развивалось ростовщичество – выдача денег при условии уплаты заемщиком процентов при возврате долга. Пользуясь острой нуждой людей в денежных средствах, ростовщики брали с должников огромные проценты. В Древней Греции в IV веке до н.э. были известны случаи ростовщических ссуд с уплатой 42% в месяц (свыше 570% годовых). Позже по обычным вкладам взимались от 62 до 900% годовых.