M. P. Galanin, A. P. Lototskii, A. S. Rodin (стр. 2 из 8)

3.1. Электродинамическая часть

Электродинамическая часть модели основана на системе уравнений Максвелла в квазистационарном приближении (см. [9, 14])

(3.1)

Здесь

- электропроводность, и - напряженности электрического и магнитного полей, - плотность тока, - вектор скорости движения лайнера.

В используемом приближении можно выразить напряженность магнитного поля в диэлектрике через значения полных токов, которые протекают через проводники. Суперпозиция магнитного поля, созданного током

, текущим по индуктору, и поля, созданного током ( ), текущим по лайнеру, дает следующий результат:

. (3.2)

Подобласти I, II, III, IV, V показаны на рис. 2.2.

Из системы (3.1) можно получить следующее уравнение для напряженности магнитного поля в проводниках (более подробно см. [7]):

.

Граничными условиями являются либо условия непрерывности Н при переходе от диэлектрика к проводнику, либо равенство нулю нормальной производной на торцах проводника (обозначения границ, приведены на рис. 2.2):

- на границах лайнера,

- на границах призм,

- на общей части границ лайнера и призм,

- на границах индуктора.

Поставлено нулевое начальное условие:

Параметры внешних электрических цепей предполагаются сосредоточенными, так что для описания цепей можно применять уравнения Кирхгоффа [14]. Они являются следствием интегрирования первого уравнения (3.1) по плоскости и контуру данных цепей. После применения формулы Стокса в уравнениях появятся интегралы по границе области. В итоге уравнения для внешней электрической цепи индуктора имеют следующий вид (более подробно см. [7]):

(3.4)

Второе уравнение (3.4) получается из первого, если выразить интеграл по границе диэлектрика через интегралы по границам проводников с помощью первого уравнения (3.1). Коэффициент 2 появился вследствие учета симметрии области.

Аналогичные уравнения для цепи лайнера (

и - площади соответствующих областей, и - их границы) записываются в виде:

(3.5)

.

В уравнениях (3.4)-(3.5) L, R, C - индуктивность, сопротивление и емкость в цепи соответственно, I и U – сила тока в цепи и напряжение на обкладках конденсатора (А – в цепи лайнера, В – индуктора).

Задача замыкается выбранными начальными значениями для токов и напряжений.

3.2 Математическая модель термоупругого тела

Данная модель основана на представлении материала лайнера в виде изотропного сжимаемого термоупругого твердого тела ([5, 13]). Введены следующие обозначения:

и – текущая и начальная плотность материала лайнера, и – эйлеровые и лагранжевые (используется общая лагранжева система координат) переменные, – компоненты вектора перемещения ( = 1, 2, 3 в общем случае, в данном – до 2: , ). Уравнения движения записаны в лагранжевых переменных:

(3.6)

где

- сила Лоренца, действующая на тело, - тензор напряжений Лагранжа. Для линейно-упругой среды он задается следующим выражением (более подробно см. [12]):

(3.7)

где λ и μ – коэффициенты Ламе, β = (3 λ + 2 μ)

, - коэффициент линейного теплового расширения.

Тензор деформации и два его первых инварианта имеют вид:

Здесь использовано правило суммирования по повторяющимся индексам.

Так как в процессе движения возникают значительные деформации лайнера, то в тензоре деформации учтены квадратичные слагаемые.

Соответствующее уравнение энергии записано в виде уравнения теплопроводности (см. [5]):

где

– удельная массовая теплоемкость при постоянной деформации, - коэффициент теплопроводности, - мощность тепловыделения.

3.3 Математическая модель «жидкого» лайнера

В работах [5-6] для поперечной модели использован подход, в котором лайнер рассмотрен в рамках представлений о вязкой жидкости. Теперь данный подход применен и для продольной модели.

Для описания движения вязкой несжимаемой жидкости взята система уравнений Навье – Стокса (в эйлеровых координатах):

(3.8)

Здесь p – гидродинамическое давление, η = ρ ν – коэффициент динамической вязкости, ν – коэффициент кинематической вязкости,

- сила Лоренца.

Уравнение теплопроводности для данной модели принимает следующий вид: