– треугольники, возникающие при проведении высот в треугольнике (разностороннем, равнобедренном);
– треугольники, в которых условием задано равенство определенных углов.
Такой же подход можно применить и в ходе обучения стереометрии. Если, например, говорить об углах и расстояниях в пространстве – материале, который из года в год используется в задачах вариантов ЕГЭ (и вступительных экзаменов многих вузов) и традиционно вызывает трудности у учащихся, то можно рекомендовать при изучении каждого конкретного многогранника или тела вращения рассматривать различные расстояния и углы между элементами этих фигур (прямыми и плоскостями). Например, говоря об угле между плоскостью основания пирамиды и плоскостью ее боковой грани, можно обсудить и показать на рисунке различия этих углов в правильной и произвольной пирамидах, треугольной и четырехугольной пирамидах, в пирамиде, у которой в основании лежит правильный многоугольник, но сама пирамида не является правильной и т.п. Такая работа может быть проведена достаточно быстро. Например, на доске изображаются несколько пирамид разного вида. Учащиеся должны изобразить линейный угол искомого двугранного угла и кратко записать построения, продумать обоснования. Затем несколько учеников на доске выполняют соответствующие дополнительные построения и проводится фронтально обсуждение необходимых обоснований. Подобная работа будет способствовать развитию гибкости мышления и формированию представлений о различных ситуациях, связанных с углом между рассматриваемыми плоскостями, и принесет больше пользы, чем решение полноценной задачи, посвященной одной нестандартной конфигурации.
2. При изучении фигур (треугольников, многоугольников, многогранников, тел вращения) можно идти от обратного: анализировать конфигурацию и отвечать на вопрос о том, какие геометрические величины здесь можно вычислить и какими способами. Например, если в трапеции провести две высоты, то появятся прямоугольные треугольники, гипотенузами которых являются боковые стороны, а если провести высоту и диагональ, – то прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является диагональ. В этих треугольниках можно применять теорему Пифагора и определения тригонометрических функций острых углов. Если в трапеции провести две диагонали, то появятся два подобных треугольника и два равновеликих треугольника и т. п. Для равнобедренной трапеции все эти треугольники будут обладать дополнительными свойствами.
Заметим, что в зависимости от того, в какой последовательности соответствующий материал изучается, такую работу можно проводить или непосредственно в ходе изучения материала, или только при повторении, когда уже изучены все необходимые факты. Так, указанные выше свойства трапеции, как правило, в момент прохождения темы «Трапеция» еще не изучены, и здесь речь может идти только об итоговом повторении.
3. Введение определений расстояний и углов в пространстве происходит, как правило, до изучения свойств пространственных фигур. Поэтому при введении этих понятий ограничены возможности их иллюстрации в различных ситуациях, связанных с вычислениями в многогранниках и телах вращения. В свою очередь, при изучении фигур времени на детальную отработку всех фактов, используемых для решения задач на изучающуюся фигуру, конечно недостаточно. Как правило, учащиеся успевают решить несколько типичных задач и некоторое число нетипичных. Например, при изучении пирамиды более или менее можно успеть отработать применение понятий угла между плоскостью основания и плоскостью боковой грани, угла между плоскостью основания и боковым ребром в правильной пирамиде. На экзамене другие углы и расстояния в пирамиде и другие виды пирамид представляют в лучшем случае встречавшиеся в этих ситуациях, а в худшем – совсем незнакомые. Поэтому даже несложные, но нестандартные задачи такого рода посильны только самым подготовленным учащимся. В связи с этим при изучении углов и расстояний можно рекомендовать усилить внимание к этим вопросам в двух направлениях. Во-первых, можно предлагать учащимся задания на их распознавание в пирамидах общего вида, параллелепипедах, конусах и цилиндрах, так как в 5-6 классах, а затем в 9 классе в курсе геометрии рассматривались эти виды фигур, и учащиеся имеют о них представление. Но больший эффект, конечно, дадут подобные задания при изучении каждой конкретной фигуры и ее разновидностей, а также при итоговом повторении.
При повторении, кроме того, можно рассмотреть и отдельную тему «Углы и расстояния в пространстве». При этом в ходе повторения следует решать не те задачи, которые предлагались учащимся при первоначальном изучении этих понятий, а задачи, в решении которых используются все сведения о пространственных фигурах, изученных в курсе стереометрии. Здесь уже задачи концентрируются не вокруг фигуры, а вокруг повторяемого определения из данной темы. Например, при повторении понятия угла между прямой и плоскостью – это углы между различными прямыми и плоскостью основания, плоскостью боковой грани или плоскостью сечения рассматриваются в пирамидах (разных видов), призмах, конусе и цилиндре.
4. Об организации учебного процесса в пояснительной записке к Программе по математике для средней школы говорится, что учебный процесс должен быть организован так, чтобы все учащиеся освоили материал курса на обязательном уровне и, кроме того, чтобы обучение способствовало «удовлетворению потребностей и запросов школьников, проявляющих интерес, склонности и способности к математике. Такие школьники должны получать индивидуальные задания (и в первую очередь нестандартные математические задачи), их следует привлекать к участию в математических кружках, олимпиадах, факультативных занятиях; желательно рекомендовать им дополнительную литературу». Поскольку овладение геометрическим материалом на повышенном уровне не относится к обязательным требованиям, но для части учащихся является весьма желательным результатом обучения, то роль индивидуального подхода при обучении геометрии весьма велика. Поэтому большое значение приобретают все известные в методической науке приемы дифференциации и индивидуализации обучения.
Для всевозможных дополнительных занятий (факультативов, кружков, практикумов, курсов и т.п.) и индивидуальных заданий (на уроке, в домашнем задании) полезно использовать пособия, содержащие задачи из вариантов ЕГЭ2. Отдельные задачи можно включать и в общую работу на уроке. Знакомство с ними расширит область нестандартных ситуаций применения изученных геометрических сведений. Однако при этом важно продумать и систему проверки решения этих задач, а также организацию консультативной помощи учащимся по решению дополнительных задач.
***
Итоги ЕГЭ 2007 г. позволяют высказать некоторые рекомендации, направленные на совершенствование процесса преподавания математики и уровня подготовки учащихся.
1. Анализ результатов ЕГЭ 2007 г. показал положительную динамику в овладении большинством выпускников требованиями стандарта 2004 г. на базовом уровне. Это позволило поднять границу выставления положительной отметки «3». В 2007 году эта отметка выставлялась при верном выполнении не менее 7-ми заданий работы (ранее было 5-6 заданий). Наряду с этим обращаем внимание администрации школ и учителей математики, что, как и в 2005-2006 гг., около 20% выпускников получили неудовлетворительную отметку, которая свидетельствует о том, что они не усвоили требования стандарта на базовом уровне. В связи с этим, учитывая опыт работы в рамках уровневой дифференциации, представляется продуктивным, чтобы в старшей школе учителя математики для учащихся со слабой подготовкой разрабатывали индивидуальную стратегию подготовки к итоговой аттестации по математике, ориентированную на достижение требований стандарта, действительно доступных большинству старшеклассников. Поэтому целесообразно для этой категории учащихся составить не только перечень доступных для усвоения требований стандарта, но и открытые для них образцы заданий, конкретизирующих эти требования.
2. Анализ решений, предложенных участниками экзамена к заданиям с развернутым ответом, позволил выявить некоторые недочеты в подготовке выпускников, продемонстрировавших хорошую и отличную подготовку по математике. Одним из основных недочетов является жесткое следование изученным алгоритмам без обращения внимания на особенности условия поставленной задачи, позволяющие использовать более рациональный метод решения. В процессе обучения необходимо больше внимания уделять развитию самостоятельности мышления учащихся. Реализация этой задачи в практике работы школы является одним из путей повышения качества математического образования.
Письмо подготовлено членами федеральной предметной комиссии по математике к. п. н. Л.О. Денищевой, к. п. н. Н.Б. Мельниковой, к. п. н. К.А. Краснянской на основе аналитического отчета «Результаты единого государственного экзамена 2007 года», размещенного на сайте ФИПИ (http://www.fipi.ru).