Методическое письмо «Об использовании результатов единого государственного экзамена 2007 года в преподавании математики в средней школе» (стр. 4 из 5)
3. Решение задач требует комплексного применения нескольких геометрических фактов. Это значит, что для успешного решения нужно суметь выделить стандартные конфигурации и применить в них изученные свойства, относящиеся к разным разделам курса геометрии. Например, в 2007 году при решении планиметрических задач нужно было в данном параллелограмме распознать и применить свойства равнобедренного треугольника и подобных треугольников или в данном правильном шестиугольнике выявить равнобедренные и прямоугольный треугольники и применить их свойства. В решении стереометрических задач применение свойств заданной пространственной фигуры (цилиндр или конус) сочеталось с выявлением углов или отрезков, величины которых определяют данные или искомые углы или расстояния в пространстве. Кроме того, для вычисления искомых элементов геометрических фигур нужно было применить знания и умения из планиметрии.
4. Характерной особенностью задач, включавшихся в варианты ЕГЭ, является использование в качестве «ключевого момента решения» применения определения или свойства фигуры в нестандартной ситуации. Поэтому для успешного решения задачи учащийся должен владеть достаточно широким спектром различных ситуаций применения геометрических фактов, либо обладать гибким мышлением, позволяющим осуществлять перенос стандартных умений в измененную ситуацию. Наличие такого рода шага в решении играет именно «ключевую» роль. Действительно, если ученик использует этот шаг, то решение сводится к применению 2-3 типичных приемов вычисления и задача решается очень быстро. Если же этот шаг ученик не может выполнить, то либо решение значительно усложняется, либо становится невозможным.
Рассмотрим в качестве примеров одну планиметрическую и одну стереометрическую задачи из вариантов 2007 года. «В правильном шестиугольнике АВСDEF диагональ АС равна
. Найдите площадь шестиугольника».Типичные задачи на правильные многоугольники, используемые в школьных учебниках геометрии, связаны с соотношениями между сторонами, радиусами вписанной и описанной окружностей. Причем, часто сначала выводятся в общем виде соответствующие формулы (весьма трудные для прочного запоминания), а затем решаются задачи. При таком подходе вырабатывается стандартный прием формального применения выведенных формул. Для решения приведенной выше задачи такого стандартного подхода явно недостаточно. Здесь нужно увидеть (или знать), что DАСD – прямоугольный, а DАОС и DСОD – равнобедренные с углами при вершине 120° и 60°, что DСОD еще и равносторонний, что шестиугольник состоит из шести треугольников, равных треугольнику СОD (рис. 1). Ключевым моментом здесь является именно мысленное разбиение данного правильного шестиугольника на шесть равных равносторонних треугольников, откуда и следуют все перечисленные выше свойства данной конфигурации. После этого вычисления будут связаны с применением теоремы Пифагора и формулы площади правильного треугольника (возможен, конечно, и другой способ решения).
Если правильные шестиугольники еще более или менее знакомы учащимся, то правильные пяти-, девяти-, двенадцатиугольники им знакомы намного меньше. Учащиеся при решении задач на такие многоугольники испытывают большие трудности именно из-за попыток применить стандартные приемы. Но в этом случае соответствующие формулы оказываются «неудобными» для решения, да и ненужными. Например, если рассматривается правильный девятиугольник, то указанные соотношения имеют вид: а9 = 2R9·sin 20°, r9 = R9·cos 20°. Вместе с тем, если в задаче речь идет об элементах треугольника, угол которого содержит три центральных угла (каждый центральный угол равен 360°: 9 = 40°), то решение сводится к рассмотрению равнобедренного треугольника с углами 120°, 30° и 30°.
Рассмотрим ещё одну задачу из вариантов КИМ: «Радиус основания цилиндра равен 1, а высота равна
. Отрезки АВ и CD – диаметры одного из оснований цилиндра, а отрезок АА1 – его образующая. Известно, что AD = 
. Найдите косинус угла между прямыми А1С и BD».Здесь ключевым моментом решения является выявление угла АСА1, равного углу между заданными скрещивающимися прямыми, и прямоугольного треугольника, содержащего этот угол (рис. 2). Понятия углов и расстояний в пространстве не отрабатываются в должной мере в ходе решения задач на вычисление элементов пространственных фигур. Менее других отрабатываются углы и расстояния между двумя скрещивающимися прямыми и еще менее – ситуация, когда эти углы и расстояния рассматриваются в цилиндре или в конусе.
При ежегодном анализе результатов ЕГЭ, к сожалению, невозможно увидеть, какие типичные ошибки допускают учащиеся при решении геометрических задач повышенного уровня, поскольку это задачи с кратким ответом: решение задачи учащимися не записывается. По имеющимся данным можно говорить лишь о том, что задачи различной тематики выполняются примерно одинаково, хотя небольшие различия в результатах иногда наблюдаются. В 2007 году более низкие результаты получены только по одной серии планиметрических задач, в решении которых нужно было применить свойство биссектрисы треугольника. Необходимо заметить, что эти задачи можно было решить без применения свойства биссектрисы, но тогда решение становится существенно длиннее. Поэтому знание этого свойства играет ключевую роль в решении задачи. Однако практика проведения ЕГЭ и других испытаний учащихся говорят о том, что большее влияние на результаты выполнения заданий оказывает не тематика проверяемого материала, а степень узнаваемости ситуации, в которой он применяется. Так, в указанной выше серии задач основную трудность для достаточно подготовленных учащихся, знающих свойство биссектрисы треугольника, скорее всего, представляет необходимость увидеть «спрятанный» в заданной конфигурации треугольник, в котором нужно применить свойство биссектрисы.
Из всего сказанного выше следует, что для успешного выполнения геометрических заданий повышенного уровня чрезвычайно важным является решение в процессе обучения геометрии следующих дидактических проблем:
1) овладение базовыми знаниями, умениями применять их в стандартной ситуации;
2) формирование системных знаний об изучающихся в школьном курсе фигурах;
3) знакомство с достаточно широким спектром ситуаций применения геометрических фактов;
4) формирование гибкости мышления, способности анализировать предлагаемую конфигурацию и вычленять в ней части, рассмотрение которых позволяет найти путь решения задачи.
Первая из указанных проблем – это обязательное требование к математической подготовке школьников. На решение этой проблемы в первую очередь должны быть направлены усилия учителя независимо от того, будут ли сдавать его ученики какие-либо экзамены, включающие проверку геометрической подготовки. О том, как более эффективно решать задачу систематизации знаний учащихся, много говорилось в методическом письме 20061 года. При этом подчеркивалась большая роль повторения материала, систематизированного по изученным фигурам.
Третья и четвертая задачи довольно тесно связаны, поскольку рассмотрение различных вариантов применения одного и того же геометрического факта не только работает на создание в памяти «банка» возможных ситуаций, но и способствует формированию потребности и способности анализировать особенности предлагаемой в задаче ситуации. Остановимся более подробно на возможных мерах, направленных на решение этих задач.
1. Отработку умения применять некий геометрический факт в различных ситуациях можно обеспечить, решая много различных задач на его применение. Этому мешает дефицит учебного времени, отводимого на изучение курса геометрии в массовой школе (несколько больше возможностей в классах, где на изучение геометрии выделяется больше часов). Например, изучив теорему Пифагора, хорошо было бы, помимо применения её для вычислений в заданном прямоугольном треугольнике, решить задачи, где дана другая фигура, а вычленение в ней прямоугольного треугольника является отдельным шагом решения. При недостатке времени можно не решать полноценные задачи, требующие много времени на записи и вычисления, а выполнять задания на рассмотрение разных фигур с требованием записать теорему Пифагора для имеющихся внутри заданной конфигурации прямоугольных треугольников. Подобных примеров за небольшой промежуток времени может быть рассмотрено довольно много:
– прямоугольник с проведенной диагональю или биссектрисой одного из углов;
– квадрат с проведенной диагональю или двумя диагоналями;
– треугольник (произвольный, равнобедренный, равносторонний) с проведенной высотой;
– параллелограмм, ромб или трапеция с проведенной высотой;
– ромб с проведенными диагоналями;
– касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания;
– радиус окружности, проведенный через середину хорды.
Подобные конфигурации могут быть рассмотрены при изучении темы «Решение прямоугольных треугольников».
Таким же образом можно поступать и при изучении другого материала, применяющегося в вычислениях (решение косоугольных треугольников, подобие треугольников и т. д.). Например, при изучении признака подобия треугольников по двум углам рассматриваются конфигурации, связанные:
– с трапецией и параллелограммом, в которых проведены прямые, пересекающие параллельные стороны (том числе диагонали или прямые, выходящие за рамки данной фигуры;
– другие конфигурации, связанные с параллельными прямыми;
– треугольники, сторонами которых являются отрезки пересекающихся хорд одной окружности;