Методическое письмо «Об использовании результатов единого государственного экзамена 2007 года в преподавании математики в средней школе» (стр. 2 из 5)

По сравнению с другими категориями участников экзамена учащиеся с высоким уровнем математической подготовки демонстрируют и более высокий уровень геометрической подготовки. С рассчитанной на этих учащихся задачей высокого уровня (С4) в 2007 году в целом справились 10%. При этом следует отметить, что даже в этой группе наиболее продвинутых выпускников с задачами по планиметрии справляются меньше учащихся (59%), чем справляются с задачами по стереометрии (67%).

Остановимся на более полном описании характерных особенностей подготовки учащихся по курсу алгебры и начал анализа и по курсу геометрии основной и старшей школы, уделяя особое внимание выявленным недочетам и рекомендациям по их преодолению.

Алгебра и начала анализа

Включение в варианты КИМ большого числа алгебраических заданий (22 из 26) различной сложности позволило составить более детальное описание состояния алгебраической подготовки выпускников, продемонстрировавших различные уровни математической подготовки. (см. таблицу 2)

Таблица 2

Описание алгебраической подготовки участников экзамена в 2007 году, показавших различные уровни общей математической подготовки

Уровень математической подготовки участников экзамена	Описание алгебраической подготовки
«Неудовлетворительный»: тестовый балл 1-35 – оценка «2»., Процент выпускников 20,9%	В целом выпускники этой группы фактически не овладели ни одним из элементов содержания, проверявшихся на базовом уровне.
«Удовлетворительный»: тестовый балл 36-54 – оценка «3». Процент выпускников 41,9%	В целом эта группа выпускников овладела 9-11 элементами содержания из 13, которые контролировались с помощью заданий базового уровня сложности в вариантах КИМ. Эта категория выпускников на базовом уровне овладела умением проводить преобразования радикалов, степеней и логарифмов с использованием ограниченного набора формул. Они умеют решать простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства, решать тригонометрические и комбинированные уравнения, дробно-рациональные неравенства, а также читать по графику свойства функций и исследовать (аналитически) некоторые свойства. При этом значительная часть учащихся не усвоила: преобразования тригонометрических выражений, решение иррациональных уравнений и нахождение области определения сложной функции. В целом, эта группа выпускников не справилась ни с одним заданием повышенного уровня.
«Хороший»: тестовый балл 55-73 – оценка «4». Процент выпускников 29,6%	В целом эта группа выпускников овладела всеми элементами содержания, проверявшимися на базовом уровне: они умеют преобразовывать все изученные виды выражений, решать все изученные виды уравнений и неравенств, исследовать свойства функций. Эта группа выпускников овладела 3-4 элементами содержания из 7-ми, освоение которых проверялось на повышенном уровне. Они овладели умениями: – преобразовывать выражения и находить их значения; – применять понятие периодичности для нахождения значений периодической функции; применять геометрический смысл производной для решения задач; – решать системы двух уравнений с двумя неизвестными.
«Отличный»: тестовый балл 74-100 –оценка «5». Процент выпускников 7,6%	Эта группа выпускников успешно овладела всеми элементами содержания на базовом и повышенном уровнях, которые проверялись с помощью вариантов КИМ-2007. Они овладели не только методами решения всех математических задач повышенного уровня, включенных в варианты КИМ-2007, но и показали умение математически грамотно и обоснованно записать свое решение при выполнении заданий повышенного уровня с развернутым ответом.

Данные, приведенные в таблице 2, показывают наличие положительной динамики в овладении алгебраическим материалом выпускниками, имеющими различный уровень математической подготовки.

Так, выпускники, получившие на экзамене отметку "3", овладели 9 – 11 основными умениями из 13, которые контролировались заданиями базового уровня сложности. В связи с этим удалось поднять "планку" выставления минимальной положительной отметки "3" до 7 заданий, тогда как в 2005-2006 гг. – для получения этой отметки требовалось выполнить верно не менее 6 заданий.

Большинство учащихся, показавших хороший уровень математической подготовки, как и в прошлом году, справились с 3 – 4 алгебраическими заданиями из 7 заданий повышенного уровня сложности. Вместе с тем значительный процент (30% – 40%) выпускников этой группы выполнили ещё 1 – 2 из остальных заданий. При этом от 16% до 29% сумели решить и грамотно записать полученное решение при выполнении заданий повышенного уровня с развернутым ответом (С1 и С2). Результаты, показанные этой группой выпускников, свидетельствуют о значительном потенциале, которым они обладают, и позволяют предполагать, что целенаправленная работа в процессе обучения с этой группой учащихся будет способствовать повышению качества их математической подготовки.

Как и в 2006 году, выпускники 2007 года, имеющие отличный уровень подготовки, справляются со всеми заданиями базового уровня сложности, а также со всеми заданиями повышенного уровня сложности.

Остановимся теперь на недостатках, которые выявились в математической подготовке выпускников 2007 г.

Как и в предыдущие годы, типичными при выполнении заданий базового уровня сложности (Часть 1 КИМ) являются ошибки, связанные с незнанием основных формул, правил, свойств алгоритмов действий и методов решения уравнений или неравенств. Заметим, что эти ошибки, в основном, встречаются у тех выпускников, которые показали неудовлетворительный уровень математической подготовки. В этом году наиболее трудными, в том числе и для тех, кто получил удовлетворительную оценку, оказались задания, в которых проверялось умение проводить тождественные преобразования тригонометрических выражений и находить их значение (например, найдите значение выражения

) и умение решать иррациональные уравнения (например, ). В первом из примеров учащиеся затрудняются в применении основного тригонометрического тождества, одной из первых формул тригонометрии. Во втором примере выпускники забывают выполнять проверку найденных корней уравнения – следствия, и в ответе появляются «посторонние корни».

Как неоднократно отмечалось, при проверке усвоения раздела "Тригонометрия" выпускники показывают самые низкие результаты:

– при выполнении тождественных преобразований тригонометрических выражений, с которыми справляются только 44,7% - 54,1%,

– при работе с простейшими тригонометрическими уравнениями, которые решают 67,7% – 70%.

Как показывает опыт преподавания, успеха добиваются те учителя, которые в первую очередь заботятся о понимании учащимися изучаемого материала. В методике математики для обеспечения понимания пользуются различными интерпретациями понятий, «переводами» с одного языка на другой (например, с «алгебраического» языка на «геометрический» и наоборот), а также – математическими моделями. В тригонометрии появляеются новые для учеников модели – числовая окружность и числовая окружность на координатной плоскости (в различных учебниках для 10-11 классов имеется различная терминология). Эта модель обеспечивает понимание не только вводимых определений (синуса числа и косинуса числа), но и облегчает прочное усвоение основных формул.

Подробнее остановимся на тех затруднениях, которые возникли у учащихся при выполнении заданий повышенного уровня сложности. Анализ содержания этих заданий показывает, что при их выполнении не нужно проводить сложных преобразований или вычислений, не нужно изобретать новых методов решения. Вместе с тем при их выполнении зачастую нужно соотнести известный стандартный метод решения с условием задачи, что может помочь найти более рациональный способ решения. Возможно, что для выполнения необходимых для решения действий потребуется самостоятельно определить, на каком множестве чисел будут выполняться эти действия.

Анализ ответов участников экзамена показывает, что даже хорошо подготовленные учащиеся часто выполняют задания, используя "шаблонные" методы решения, которые приводят к громоздким преобразованиям и вычислениям.

Например, при выполнении задания "Решите уравнение

" выпускники преобразовывали это уравнение к виду и рассматривали два случая, привычно раскрывая знак модуля. Хотя внимательный анализ условия задания показывает, что на промежутке , на котором следует искать корни уравнения, выражение принимает только положительные значения.

Другой пример. При решении иррационального уравнения

применение стандартного приема "возведение в квадрат" обеих частей уравнения, очевидно, приводит к громоздкому уравнению 4-ой степени. Однако при анализе левой части исходного уравнения легко (даже с помощью устных вычислений) заметить, что x = 4 является корнем многочлена , а значит, при его разложении на множители в левой части уравнения появится множитель (x – 4). Это несложное преобразование, известное ещё из основной школы, сводит исходное уравнение к простейшей совокупности уравнений