Методическое письмо Об использовании результатов новой формы государственной (итоговой) аттестации выпускников 9 класса 2009 года в преподавании алгебры в общеобразовательных учреждениях (стр. 4 из 5)

Результат выполнения этого задания соответствует планируемому уровню трудности, однако находится на его нижней границе, а в ряде территорий ниже ожидаемого, хотя задание и характер вычислений вполне стандартные. С ним справилось около 41% школьников.

Следующее задание проверяло умение решить уравнение третей степени на основе разложения многочлена на множители способом группировки и последующего применения равенства нулю произведения. Владение этим умением также важно для тех учащихся, которые изучают математику на уровне, требующем уверенного применения алгебраического аппарата к решению математических задач. Результаты его выполнения можно считать вполне удовлетворительными (53%).

В следующую по уровню трудности группу заданий входили задания на решение линейного неравенства, а также задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии. Предлагавшееся в работах линейное неравенство, например,

, на первый взгляд также алгоритмическое, но имеет одно качественное отличие, делающее его не вполне стандартным. Учащийся должен увидеть необходимость определить знак выражения типа

и сделать это; дальнейшее решение тривиально. Во всех территориях результаты уложились в ожидаемый диапазон трудности. Однако показательно, что процент не приступивших к выполнению этого задания наиболее высок среди заданий второй части работы; в ряде территорий он превзошел 50%. Очевидно, что учащиеся просто не знали, как приступить к его выполнению.

Из двух заданий на арифметическую и геометрическую прогрессии труднее оказалось первое, хотя, как правило, картина обычно бывает обратная (18% и 21%). Дело, по всей видимости, в том, что фабула первого задания носит содержательный характер, а второго – более формальный. И содержательное всегда оказывается для учащихся труднее, чем формальное, что указывает некоторое направление совершенствования преподавания.

Последние два задания экзаменационной работы относятся к категории высокого уровня, являются нестандартными для основной школы и встречаются чаще в курсах повышенного уровня. В 2009 г. это были задания следующего содержания: решение задачи в координатной плоскости (составление уравнения параболы по заданным координатам трех ее точек, составление по графику функции, состоящему из двух лучей, формулы, задающей эту функцию), исследование уравнения, содержащего буквенные коэффициенты, нахождение наименьшего значения выражения на основе исследования квадратного трехчлена.

Фактические знания, требуемые для их решения, не выходят за рамки обязательного минимума содержания, но, чтобы их решить, надо свободно владеть этими знаниями и уметь применить их в нужной ситуации. Результаты по этим задачам удовлетворительные, укладывающиеся в планируемый диапазон трудности (от 7 до 10%). Учащиеся, решившие их, несомненно, отличаются высоким уровнем математической подготовки и составляют потенциал профильных классов с углубленным изучением математики на старшей ступени школьного образования.

Результаты и перспективы включения в экзамен заданий

вероятностно-статистической линии

В 2003 г. было опубликовано письмо Минобразования России «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы» (от 23 сентября 2003 г. №03-93ин/13-03). В нем было рекомендовано начинать изучать этот материал в 5 и 7 классах (он включен в стандарт 2004 г., и в настоящее время есть во всех учебниках, имеющих гриф Министерства образования и науки РФ). В настоящее время сделаны первые шаги в решении вопроса включения заданий вероятностно-статистической линии в государственную (итоговую) аттестацию в IX классе. На данном этапе проверка усвоения материала этой линии осуществлялась только на базовом уровне.

Экзамен по алгебре в 9-х классах по новой форме с включением в работу заданий вероятностно-статистической линии проводился в Саратовской области в 2008 и в 2009 годах. Экзамен в режиме эксперимента в 2008 г. сдавали 199 учащихся из трех районов области, в 2009 году - 2131 учащийся из 13 районов. Остановимся на результатах этих двух лет.

В первую часть работы дополнительно были включены два задания. В 2008 г. они относились к разделам статистики и комбинаторики, в 2009 г. - статистики и теории вероятностей. Ниже приводятся по одному варианту каждого года.

2008 год

Задание 1. Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 158, 166, 134, 130, 132. На сколько отличается средний рост этих учащихся (среднее арифметическое) от медианы?

Ответ: __________________

Задание 2. Сколько всего трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 3, 7, 9?

1) 18

2) 24

3) 48

4) 64

2009 год

Задание 3. На 500 электрических лампочек в среднем приходится 3 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку?

Ответ: __________________

Задание 4. Средний рост девочек класса, где учится Маша, равен 160 см. Рост Маши 163 см. Какое из следующих утверждений верно?

1) В классе все девочки, кроме Маши, имеют рост 160 см.

2) В классе обязательно есть девочка ростом 160 см.

3) В классе обязательно есть девочка ростом менее 160 см.

4) В классе обязательно есть девочка ростом 157 см.

За выполнение дополнительных заданий, как и за каждое задание первой части работы, начислялось 0,5 балла. Таким образом, за выполнение первой части учащиеся могли получить до 9 баллов[2]. Несмотря на увеличение количества заданий, и, соответственно, общего балла, критерии оценивания и схема перевода общего балла в отметку сохранялись те же, что и в общем случае.

С заданием 1 справились 71 % учащихся (не приступили 17 %), с заданием 2 – 64 % учащихся (не приступили 3 %).

Типичные ошибки при выполнении задания 1 следующие:

1) учащиеся не упорядочивали ряд значений роста, и брали за медиану значение, стоящее в середине данного ряда − 17 чел. (две трети тех, кто выполнил это задание неверно);

2) допускали вычислительные ошибки при нахождении среднего арифметического − 8 чел. (треть тех, кто выполнил это задание неверно).

При выполнении задания 2 типичными ошибками были следующие:

1) учащиеся считали трёхзначные числа без повторения цифр − 48 чел. (73% выполнивших это задание неверно);

2) не учитывали того, что число не может начинаться с нуля − 12 чел. (18% выполнивших это задание неверно);

3) допускали вычислительные ошибки − 6 чел. (9% выполнивших неверно).

Наиболее распространенная из отмеченных ошибок, несомненно, является следствием той методики изучения этого вопроса, которой придерживаются многие школьные учителя, преподающие новый материал программы. Делая основной акцент на формулы комбинаторики (хотя они и не предусмотрены стандартом основной школы), они тем самым существенно уменьшают круг решаемых задач, ограничиваются рассмотрением так называемых вариантов «без повторения», что, по всей видимости, и проявилось в результатах выполнения данного задания.

Несмотря на то, что результат по заданию 2 (комбинаторика) ниже, чем по заданию 1 (статистика), предпочтение учащиеся отдавали задаче по комбинаторике, процент приступивших к ее решению значительно больше.

С заданием 3 справились 40 % учащихся (не приступили 23 %), с заданием 4 (2009) – 64 % учащихся (не приступили 7 %).

Типичные ошибки при выполнении задания 3 следующие:

1) учащиеся находили вероятность покупки неисправной лампочки, хотя в задании требовалось найти вероятность покупки исправной лампочки − 52% тех, кто выполнил это задание неверно;

2) находили отношение общего числа всех равновозможных исходов к благоприятствующим исходам (делили 500 на 3) − 25% тех, кто выполнил задание неверно;

3) допустили вычислительные ошибки при переводе обыкновенной дроби в десятичную − 12% тех, кто выполнил задание неверно.

Заметим, что одна из причин, по которой 29% учащихся не приступили к выполнению задания, возможно, кроется в отсутствии в настоящее время терминологического единства в действующих учебниках.

Кроме того, ошибки учащихся часто являются следствием неудачного планирования изучения данных тем, которого придерживаются многие учителя. Отдельные темы статистического раздела преподаются, начиная с 5 класса, а темы теории вероятностей оставляются для изучения в 9 классе, и поскольку времени для отработки нового материала крайне мало, усваиваются они недостаточно прочно и осознанно.

При выполнении задания 4 была выявлена следующая типичная ошибка: из 29% тех учащихся, кто выполнил задание неверно, более половины ответили, что в классе обязательно есть девочка ростом 160 см.

Заметим, что в 2009 г. задание из раздела статистики выполнено несколько хуже, чем то, которое было в 2008 г. Объяснить это можно тем, что задание этого года направлено на проверку понимания сущности понятия «среднее арифметическое», а прошлого – на знание определения, т.е.носит более формальный и алгоритмический характер.

Результаты проведенной работы показали принципиальную возможность включения заданий вероятностно-статистической линии курса математики основной школы в экзамен для проверки усвоения соответствующего материала на базовом уровне. В то же время увеличение первой части экзаменационной работы (до 18 заданий), по всей видимости, требует отведения на выполнение первой части работы 90 минут.