Методическое письмо «Об использовании результатов единого государственного экзамена 2006 года в преподавании математики в средней школе» (стр. 5 из 6)
| Тема | Основное содержание |
| Многогранники | |
| Призма (правильная, прямая, наклонная) | Сечение призмы плоскостью. Площадь боковой и полной поверхностей призмы. Объем призмы. Угол между прямой и плоскостью (диагональю призмы или грани и плоскостью основания, ребром основания и боковой гранью); угол между плоскостями (плоскостью сечения и плоскостью основания, плоскостью диагонального сечения и плоскостью боковой грани); угол и расстояние между скрещивающимися прямыми (ребрами оснований, ребром основания и диагональю грани) |
| Пирамида (правильная, с равными ребрами, с одинаковыми углами между плоскостями боковых граней и плоскостью основания) | Сечение пирамиды плоскостью. Усеченная пирамида. Площадь боковой и полной поверхностей пирамиды. Объем пирамиды. Угол между прямой и плоскостью (боковым ребром или высотой боковой грани и плоскостью основания, ребром основания и плоскостью боковой грани); угол между плоскостями (боковых граней и основания, сечения и основания, двух боковых граней с общим ребром); угол и расстояние между скрещивающимися прямыми (боковым ребром или высотой пирамиды и ребром или диагональю основания) |
| Тела вращения | |
| Прямой круговой цилиндр | Сечение цилиндра плоскостью. Площадь боковой и полной поверхностей цилиндра. Объем цилиндра. Угол между прямой и плоскостью (прямой в секущей плоскости и плоскостью основания); угол между плоскостями (сечения и основания); угол и расстояние между скрещивающимися прямыми (хордами двух оснований) |
| Прямой круговой конус | Сечение плоскостью. Усеченный конус. Площадь боковой и полной поверхностей конуса. Объем конуса. Угол между прямой и плоскостью (образующей и плоскостью основания); угол между плоскостями (сечения и основания); угол и расстояние между скрещивающимися прямыми (образующей и хордой основания) |
| Шар и сфера | Сечение плоскостью. Площадь поверхности. Объем шара. Свойства фигуры, вписанной в сферу. Касательная плоскость |
Особого внимания требуют вопросы, связанные с вычислением расстояний и углов в пространстве применительно к конкретной фигуре. Они остаются трудными для большинства учащихся, причем, даже в тех достаточно типичных ситуациях, которые используются в задачах повышенного уровня. Так, если в задачах высокого уровня сложности рассматривается угол между двумя плоскостями, которые зачастую являются плоскостями боковых граней или плоскостями проведенных сечений, то в задачах повышенного уровня это угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани пирамиды или плоскостью типичного сечения призмы. Задачи, связанные с такими ситуациями, из года в год присутствуют в вариантах ЕГЭ (как и в вариантах многих вступительных экзаменов в вузы), тем не менее, процент их верного решения невысок. Это объясняется двумя причинами. Первая причина связана с тем, что углы между плоскостями (а также другие вопросы, связанные с углами и расстояниями в пространстве) в учебниках часто рассматриваются и проходят первичное закрепление до изучения многогранников и тел вращения. Поэтому еще раз подчеркнем высказанную ранее мысль: очень важно при изучении каждого вида многогранников и тел вращения, а также при повторении материала обращать внимание учащихся на использование изученных ранее геометрических фактов для вычисления элементов рассматриваемой фигуры.
Вторая причина связана с задачами, в которых рассматриваются углы между прямой и плоскостью или между плоскостями, где необходимо применять планиметрический материал, нередко усвоенный непрочно. В данном случае речь идет о решении прямоугольных (реже – косоугольных) треугольников. Поэтому необходимо наиболее часто используемые сведения из планиметрии восстанавливать в памяти учащихся при изучении стереометрии. При этом более продуктивным является постепенное (и возможно, неоднократное) повторение тех вопросов, которые актуальны для изучаемого стереометрического материала. Например, при изучении параллельности прямых и плоскостей целесообразно повторить; свойства углов при параллельных прямых и секущей, свойства средних линий треугольника и трапеции, признаки подобия треугольников, а при изучении перпендикулярности прямых и плоскостей – определения тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника, свойства треугольников и четырехугольников, связанные с перпендикулярностью. В дальнейшем часть из этих сведений, наиболее важную для решения задач, полезно повторять при изучении многогранников и тел вращения.
Вполне возможно, что часть учащихся, потенциально обладающих уровнем подготовки, достаточным для решения геометрических задач, помещаемых в варианты ЕГЭ, просто не доверяет своим знаниям и умениям и, предполагая, что задачи очень трудные, не пытаются их решить. Здесь, видимо, могло бы помочь более активное ознакомление учащихся с задачами, которые использовались в вариантах прошлых лет. Такие задачи представлены в сборниках, содержащих задания и варианты контрольных измерительных материалов, использованных при проведении ЕГЭ10. Знакомясь с ними, учащиеся не только повторят некоторые геометрические сведения и приемы решения, но также увидят, что задачи по планиметрии при рациональном способе решения не требуют длинной цепочки рассуждений и выкладок, а стереометрические задачи повышенного уровня построены на достаточно типичных ситуациях и тоже решаются в 2-3 действия.
Следует отметить, что в методической литературе в настоящее время имеется очень много пособий, предназначенных для подготовки к сдаче ЕГЭ. При этом довольно часто предлагаемые в них задания отражают взгляд автора на то, какие задачи должен уметь решать выпускник, чтобы сдать этот экзамен11. Не обсуждая вопрос о правильности авторской позиции, отметим, что с точки зрения информирования учащихся об уровне сложности задач и широте используемого содержания в процессе обучения целесообразно рассматривать задачи, непосредственно использовавшиеся в вариантах ЕГЭ.
Поскольку речь идет о задачах повышенного и высокого уровня сложности, то, естественно, на уроках геометрии в массовой общеобразовательной школе нет возможности рассматривать большое число таких задач. Поэтому можно некоторую их часть использовать для работы со всем классом, но, кроме того, предусмотреть их включение в индивидуальные задания (в классе и для домашней работы) для более подготовленных или просто желающих учащихся.
Итоги ЕГЭ 2006 г. позволяют высказать некоторые общие рекомендации, направленные на совершенствование процесса преподавания и подготовки учащихся средней школы.
1) Сравнительный анализ результатов выполнения базовых заданий одинаковой тематики в 2002 –2006 г.г. показал наличие повторяющихся из года в год типичных ошибок учащихся, о которых сообщается в ежегодных отчетах по результатам проведения ЕГЭ по математике, в сборниках по подготовке к ЕГЭ, опубликованных в открытой печати. Следует обратить внимание учителей, авторов учебников и разработчиков методических пособий на необходимость совершенствования методики формирования базовых умений, составляющих основу математической подготовки выпускников средней школы.
2) Анализ результатов выполнения базовых заданий по курсу алгебры и начал анализа показал наличие положительной динамики в овладении материалом раздела «тригонометрия», о существенных недочетах в усвоении которого говорилось в отчетах по результатам ЕГЭ в прошлые годы. В настоящее время вызывают тревогу низкие результаты выполнения заданий на решение иррациональных уравнений и логарифмических неравенств. Учителям в процессе обучения следует обратить внимание на обеспечение более прочного усвоения учащимися стандартных алгоритмов решения этих уравнений и неравенств.
3) Геометрическая подготовка выпускников школы продолжает оставаться невысокой, поэтому по-прежнему необходимо усиленное внимание учителей к преподаванию курса геометрии в основной и старшей школе, чтобы в процессе обучения учащиеся не только овладевали теоретическими фактами курса, но и приобретали умения проводить обоснованные рассуждения при решении геометрических задач и математически грамотно записывать полученное решение.
Письмо подготовлено
членами Федеральной предметной
комиссии по математике
к. п. н. Л.О. Денищевой,
к. п. н. Н.Б. Мельниковой,
к. п. н. К.А. Краснянской
на основе аналитического отчета
«Результаты единого государственного
экзамена 2006 года)»
1 Состояние общей математической подготовки учащихся оценивается на основе результатов выполнения ими всех заданий работы.
2 Состояние алгебраической подготовки учащихся по курсу алгебры и начал анализа оценивается на основе результатов выполнения алгебраических заданий работы. При этом не учитываются результаты выполнения четырех заданий: текстовой задачи (В9) и трех заданий по геометрии (В10, В11 и С4).
3 Имеется положительная динамика в овладении этим материалом ( при проверке ограниченного набора формул).
4 Перепроверка части работ участников ЕГЭ проводится ежегодно. В 2006 г. были также перепроверены работы всех учащихся, получивших максимальную тестовую оценку 100 баллов.
5 В КИМ для ЕГЭ такие задания относят к повышенному уровню сложности.
6 В КИМ 2006 г. предлагались уравнения типа
