Методическое письмо «Об использовании результатов единого государственного экзамена 2006 года в преподавании математики в средней школе» (стр. 4 из 6)
Как уже отмечалось выше участники экзамена 2006 года, как и в предыдущие годы, показали невысокие результаты при решении геометрических задач. При этом большое число учащихся либо не дали никакого ответа к задачам повышенного и высокого уровня, либо вообще не приступали к их выполнению. При интерпретации этого факта следует иметь в виду, что задания по геометрии в вариантах КИМ не только отражают повышенный уровень требований к математической подготовке выпускников, но и относятся к «абитуриентским» заданиям, выполнение которых не учитывается при выставлении аттестационных отметок по курсу алгебры и начал анализа. Поэтому значительное число учащихся, которые вообще не дали никакого ответа на геометрические задания7, объясняется двумя причинами. Во-первых, результаты экзамена показывают, что некоторые учащиеся, приступившие к решению, не смогли довести его до получения ответа. Во-вторых, многие выпускники вообще не приступают к решению, если они не предполагают поступать в вузы, в которых нужно сдавать экзамен по математике, и участвуют в ЕГЭ с целью получения аттестационной отметки по алгебре.
Кроме того, часть учащихся получила при решении задач неверный ответ. Заметим, что пытаются решить геометрическую задачу, как правило, достаточно сильные выпускники. Однако многим из них не хватает знаний или умений применить свои знания. Так, со многими геометрическими задачами повышенного уровня справились меньше половины даже среди учеников с «хорошей» и «высокой» подготовкой по математике.
Задачи по планиметрии, которые используются на вступительных испытаниях в вузы, как правило, требуют применения сведений из разных разделов курса. Таким образом, для их решения нужно ориентироваться во всей совокупности свойств рассматриваемой фигуры, которые могли изучаться и в разных классах основной и старшей школы. Это характерно для задач, включаемых в варианты ЕГЭ, решение которых состоит из небольшого числа вычислительных шагов, но требует применения 2-3 геометрических фактов из разных разделов курса. Например, в 2006 году предлагались задачи такого типа: «В параллелограмме ABCD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке К и прямую ВС в точке Р. Найдите периметр треугольника CDP, если DК = 18, РК = 24, AD = 15». Для решения такой задачи «на параллелограмм» нужно было применить признак подобия треугольников, свойство углов при параллельных прямых и секущей и признак равнобедренного треугольника. Такие задачи отличаются от большинства обычных учебных задач, направленных на отработку материала темы, изучающейся в данный момент.
Кроме того, абитуриентские задания выбираются из задач, в которых ситуация применения геометрических фактов не является для учащихся привычной и отработанной в ходе обучения. Поэтому даже при небольшом числе шагов решения они трудны для многих учащихся.
В связи с этим представляется важным формировать у учащихся системные знания о свойствах фигур. Конечно, при изучении каждой конкретной темы основное внимание уделяется вновь изучаемому материалу. Но вместе с тем очень важно установить взаимосвязи нового материала с тем материалом, который изучался ранее в связи с рассматриваемой фигурой. Например, при изучении окружностей, вписанных в треугольник или описанных около треугольника, рассматривается вопрос о положении центров таких окружностей: в первом случае в точке пересечения биссектрис треугольника, во втором – в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Если при этом вспомнить изучавшиеся до этого свойства равнобедренных и равносторонних треугольников, то они пополнятся фактом о расположении центров вписанной и описанной окружностей на высоте, проведенной к основанию.
Кроме того, при совместном с учащимися решении задач в классе необходимо помнить, что цель этой работы состоит не в том, чтобы решить конкретную задачу, а в том, чтобы сформировать умения решать подобные задачи. Поэтому, рассматривая данную конфигурацию, нужно обращать внимание учащихся на то, какие геометрические факты можно было бы применить для решения задачи и на выбор способа решения.
Особая роль в формировании системных знаний об изученных в курсе фигурах отводится повторению материала. Именно при повторении, когда нет необходимости рассматривать материал в том порядке, который обусловлен логикой построения теоретической линии курса, можно выстроить последовательность рассмотрения материала, группируя его вокруг определенных фигур (треугольник, параллелограмм, трапеция, окружность и т.п.). Ниже приводятся примерные темы такого повторения и связанный с ними материал.
| Тема | Основное содержание |
| Окружность | Свойства касательных, положение центра по отношению к пересекающимся касательным, свойство хорды, перпендикулярной радиусу, положение центра по отношению к хорде, свойства пересекающихся хорд и секущих, вписанные и центральные углы, длина окружности и дуги окружности, площадь круга и площади сектора и сегмента |
| Треугольники | |
| Произвольный остроугольный или тупоугольный треугольник | Равенство треугольников, сумма углов треугольника, свойство точки пересечения медиан, свойство биссектрисы треугольника, высота в остроугольном и в тупоугольном треугольнике, подобие треугольников, площадь треугольника (формулы для вычисления площади треугольника, площади подобных треугольников и треугольников с общей высотой, метод площадей), решение косоугольных треугольников, вписанные и описанные треугольники (положение центра окружности, формулы, связанные с радиусами вписанной и описанной окружностей) |
| Прямоугольный треугольник | Равенство прямоугольных треугольников, решение прямоугольных треугольников (теорема Пифагора и определения тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника), пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике, свойство медианы, проведенной к гипотенузе. Сумма углов в прямоугольном треугольнике, подобие прямоугольных треугольников, формулы для вычисления площади, вписанные и описанные прямоугольные треугольники (положение центра окружности, формулы, связанные с радиусами вписанной и описанной окружностей) |
| Равнобедренный треугольник | Свойство углов при основании, свойство медианы, биссектрисы и высоты, проведенных к основанию, равенство двух медиан (биссектрис, высот), проведенных к боковым сторонам. Положение центров вписанной и описанной окружности, решение косоугольных и прямоугольных треугольников для вычисления элементов равнобедренного треугольника, подобие треугольников Свойства равнобедренного прямоугольного треугольника |
| Правильный треугольник | Углы правильного треугольника, медианы, биссектрисы и высоты, положение центра правильного треугольника и вычисление его элементов и площади |
| Четырехугольники | |
| Параллелограмм и его виды (прямоугольник, ромб, квадрат)8 | Свойства сторон и углов параллелограмма, его признаки. Свойство диагоналей. Соотношение между квадратами диагоналей и сторон параллелограмма, метод удвоения медианы треугольника. Формулы площади параллелограмма. Свойство биссектрисы угла параллелограмма. Свойство диагоналей прямоугольника, признаки прямоугольника. Свойство диагоналей ромба, признаки ромба. Формулы для вычисления площади ромба. Свойства и признаки квадрата. Вписанные в окружность и описанные около окружности виды параллелограммов |
| Трапеция | Свойства средней линии трапеции, формула площади трапеции, равнобедренная трапеция и ее свойства. Трапеция, вписанная в окружность и описанная около окружности и их свойства |
| Многоугольники | Сумма углов многоугольника, сумма его внешних углов. Свойства правильных многоугольников9 |
Как известно, в современных учебниках к теоретическим фактам (теоремам) отнесены в основном только те утверждения, которые необходимы для построения теории. При этом многие утверждения, весьма полезные для решения большого числа задач, даются как задачи на доказательство, а это приводит к тому, что учащиеся не помнят сформулированные в них факты. Вместе с тем владение этими фактами значительно сокращает время, необходимое для решения задачи. Поэтому в ходе повторения, кроме «законных» теорем, нужно повторить и такого рода дополняющие их утверждения. Так, например, о равнобедренной трапеции в качестве задач формулируются очень важные для решения задач свойства.
1) В равнобедренной трапеции углы при основании равны.
2) В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = а и ВС = b основание высоты ВН делит основание AD на отрезки: АН =
, DH = 
= m, где m – средняя линия трапеции.При повторении курса стереометрии тоже полезно группировать материал вокруг определенных фигур (пирамиды, призмы, конуса и т.п.). Рассматривая те или иные фигуры, необходимо не только вспомнить свойства фигуры и формулы боковой поверхности и объема, но также повторить те геометрические факты, которые используются для определения элементов данной фигуры.