Методическое письмо «Об использовании результатов единого государственного экзамена 2006 года в преподавании математики в средней школе» (стр. 3 из 6)

4) Особое беспокойство вызывают проблемы, о которых свидетельствует перепроверка4 ответов учащихся на задания с развернутым ответом повышенного уровня сложности, выполнение которых оценивается максимально 2 баллами. При записи решений этих заданий не требуется каких-либо объяснений, т.к. обычно проверяются известные методы решений. Но вместе с тем выполнение этих заданий требует определенной внимательности выпускников, т.к. в одних случаях нужно учесть область определения выражения, в других - сделать проверку найденных корней уравнения – следствия или отобрать значения, исходя из ограничений данных в условии задачи.

Согласно критериям проверки этих заданий, положительно оцениваются (выставляется 1 или 2 балла) те работы, в которых очевидно показано владение методом, проверка выполнения дополнительных ограничений, внесенных в ходе решения, учет условий задачи и т.п. Различие в выставлении 1 или 2 баллов состоит в том, что на оценку в 1 балл допускается вычислительная ошибка или описка, не влияющая на дальнейший ход решения задачи. Однако при перепроверке работ выпускников обнаруживается, что эксперты (а это учителя школ) к опискам относят неверно выполненные отдельные действия, входящие в состав стандартных алгоритмов; отсутствие отдельных шагов стандартных алгоритмов и пр. Например, отсутствие исследования на пригодность корней уравнения-следствия; отсутствие указания числового промежутка при раскрытии знака модуля, приводящее к появлению посторонних корней и пр. Наличие указанных недочетов в решениях выпускников сигнализирует нам о необходимости обращения внимания к математически грамотному оформлению записи решения математических задач. Не нужно давать и разучивать с учащимися образцы решений, не нужно «канонизировать» какие-то эталоны, решения у разных учеников могут и, по-видимому, должны быть различными, единственным критерием их оценки должна быть математическая грамотность записи решения.

Нельзя не заметить, что указанные проблемы не являются новыми, возникшими только в ходе ЕГЭ 2006 г. О большинстве из них уже говорилось в методических письмах, подготовленных на основе итогов ЕГЭ 2003 и 2005 г.г. Напомним, что в этих письмах указывались направления совершенствования преподавания: активнее включать в учебный процесс идеи дифференцированного обучения (дифференциация требований в процессе обучения, разноуровневый контроль); использовать практические разработки по индивидуализации обучения (создание индивидуальных модулей обучения); учитывать рекомендации психологов по организации усвоения и пр.

Хотя болевые точки выявлены и рекомендации предложены, но, как показывает опыт, положительных результатов трудно ожидать в течение двух и даже трех лет, т.к. математика является таким предметом, где невероятно сильна преемственность в обучении. Чтобы получить высокие результаты в средней школе, нужно добиться успешного овладения теми результатами, которые формируются в основной школе.

К таким важным результатам обучения математике в 5-6 классах и алгебре в 7-9 классах относятся умения:

– выполнять вычисления с обыкновенными и десятичными дробями,

– преобразовывать многочлены, алгебраические дроби, степени с целыми показателями и квадратные корни,

– решать линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения и неравенства,

– читать свойства функций по их графикам, исследовать отдельные свойства функций аналитически.

Учителям математики, начинающим работу в 10 классе и готовящим выпускников к итоговой аттестации, необходимо в начале учебного года получить достоверную информацию об уровне подготовки десятиклассников по основным разделам курса алгебры основной школы и своевременно организовать работу по ликвидации пробелов в знаниях учащихся. Этой цели служит организация вводного повторения материала курса алгебры 7-9 классов. Исходя из результатов, получаемых ежегодно на едином экзамене по математике, можно предложить следующую тематику вводного повторения.

Основные вопросы повторения	Вспомогательный материал
Преобразования одночленов, многочленов, алгебраических дробей и арифметических квадратных корней	– свойства степеней с одинаковыми основаниями, – формулы сокращенного умножения, – правила сложения (вычитания), умножения многочленов, – свойства арифметического квадратного корня, – действия с десятичными и обыкновенными дробями
Решение линейных и квадратных уравнений и неравенств. Решение дробно-рациональных уравнений	– теоремы о равносильных преобразованиях уравнений и неравенств, – формула корней квадратного уравнения, – действия с десятичными и обыкновенными дробями
Линейная и квадратичная функции, их свойства и графики Функции вида и , их свойства и графики	– нахождение значений функции, нулей функции, промежутков знакопостоянства (аналитически и графически), – чтение по графику свойств функций, – действия с десятичными и обыкновенными дробями

Вполне понятно, что решить проблему ликвидации пробелов в знаниях десятиклассников по курсу алгебры основной школы только с помощью организации вводного повторения не удастся. Поэтому целесообразно организовать еще и индивидуальное повторение, учитывающее пробелы в знаниях и умениях конкретного ученика, и с помощью диагностических работ систематически фиксировать продвижение старшеклассника по пути достижения уровня запланированных требований.

Итак, для успешной подготовки к итоговой аттестации в старших классах необходимо целенаправленное вводное повторение разделов курса алгебры 7-9 классов (математики 5-6 классов) и систематический мониторинг продвижения отдельных учеников по ликвидации пробелов за основную школу.

Вместе с тем не стоит забывать, что курс алгебры и начал анализа отличается не только преемственностью с курсом математики 5-6 классов и курсом алгебры 7-9 классов, но и преемственными связями между различными разделами внутри самого курса. Поэтому для обеспечения прочного овладения всеми выпускниками основными элементами содержания, изучаемыми в старшей школе не только на базовом, но и на повышенном уровне, нужно проводить систематическое повторение пройденного. Во многих учебниках, входящих в федеральный комплект учебников, такое повторение обеспечивается системой упражнений, рекомендованных для домашней работы. Обычно эти упражнения достаточно объемны, трудоемки и требуют письменного выполнения. Одним из возможных альтернативных путей организации текущего повторения может быть использование в ходе обучения устных упражнений.

Устные упражнения традиционно включаются в учебный процесс на уроках математики в основной школе, но, как показывает практика, недостаточно используются в старших классах. Устные упражнения, проводимые обычно в начале урока, имеют своей основной целью актуализацию знаний, необходимых для последующего объяснения учителя. Вместе с тем они могут выполнять и другие функции, например, использоваться для первичного закреплении материала, при опросе (фронтальном и индивидуальном).

При разработке содержания и формы представления устных упражнений следует позаботиться об обеспечении простоты «технических» преобразований и вычислений, необходимых для их выполнения. Этот подход позволит сосредоточить внимание учащихся на смысловой стороне их выполнения, то есть на определении метода их решения. Кроме того, простота технической стороны устных упражнений позволяет с их помощью моделировать различные нестандартные ситуации применения тех или иных знаний (теоретического материала)5, в которых центр тяжести сосредоточен на конструировании нового метода и не осложнен сопутствующими (второстепенными) деталями. Так, подводя учащихся к поиску решения нестандартного уравнения6, можно в устных упражнениях обсудить сущность соответствующего метода решения, например, на заданиях типа:

– решите уравнение

Таким образом, учитель сможет связать учебный материал из различных разделов курса, обеспечивая, с одной стороны, систематическое повторение, а с другой стороны, мотивируя более подготовленных учащихся к решению задач повышенной сложности.

Отдавая должное вводному и систематическому текущему повторению, нельзя переоценить важность и значение итогового повторения, в ходе которого осуществляется систематизация знаний по мере изучения всего курса.

Курс геометрии

Количество геометрических задач среди заданий в вариантах экзаменационной работы в течение трех последних лет проведения ЕГЭ остается постоянным. В каждый вариант включается одна планиметрическая задача (повышенного уровня сложности) и две стереометрические задачи (повышенного и высокого уровня сложности). Обе задачи повышенного уровня – это задания с кратким ответом, то есть учащийся должен записать только полученный им ответ. При выполнении стереометрической задачи высокого уровня требуется записать и само решение.