Методическое письмо «Об использовании результатов единого государственного экзамена 2006 года в преподавании математики в средней школе» (стр. 2 из 6)

С большинством алгебраических задач повышенного уровня (С1 и С2) и высокого уровня (С3 и С5), требующих записи решения, справились:

С1 – 19% -29% участников экзамена (2005 г. – 13%-21%);

С2 – 7% -13% (2005 г. – 20%-25%);

С3 – 0,7% -2,3% (2005 г. – 1,3%-2,3%);

С5 – 0,2%- 1,0% (2005 г. – 0,26%-0,81%).

Более высокие результаты выполнения задания С1 объясняются целенаправленным снижением сложности этого задания по сравнению с 2005 годом, чтобы с ним могли справиться не только «отличники», но и твердые «хорошисты». Более низкие результаты выполнения задания С2 связаны с целенаправленным повышением его сложности по сравнению с 2005 годом, чтобы обеспечить последующую более тонкую дифференциацию хорошо подготовленных выпускников. При выполнении заданий С3 и С5 значительных изменений в результатах не произошло.

Результаты выполнения алгебраических заданий С1, С2, С3 показывают, что с их введением в варианты КИМ 2006 г. удалось осуществить более плавный переход от заданий повышенной сложности к заданиям высокой и самой высокой сложности.

Повышение верхней границы процента выполнения самого сложного задания С5 по сравнению с 2005 годом показывает, что в 2006 году к этому заданию приступало больше учащихся с высоким уровнем подготовки и справлялось с ним. Этот результат свидетельствует о правильном направлении совершенствования подходов к разработке подобных заданий, позволяющем сделать данное задание более привлекательным для самых подготовленных учащихся.

Курс геометрии основной и старшей школы

Согласно спецификации вариантов КИМ в каждый вариант работы включалось три задания по геометрии: два повышенного уровня и одно высокого уровня сложности.

С большинством геометрических задач повышенного уровня по планиметрии в 2006 году по вариантам КИМ справились 7,5%–11,7% выпускников (2005 г. 6,8%–8,6%), по стереометрии результаты несколько лучше – 8,5%-18,3% (2005 г. 10,9%-14,3%). По сравнению с 2005 годом наблюдается тенденция некоторого повышения результатов.

Тем не менее, как и в предыдущие годы, участники экзамена 2006 года показали невысокие результаты при решении геометрических задач повышенного уровня сложности. При интерпретации этих результатов следует иметь в виду, что часть учащихся, не заинтересованных в получении свидетельства о сдаче ЕГЭ по математике для поступления в вузы или ссузы, скорее всего, просто пропустили эти задания. Это обстоятельство не позволяет с достаточным основанием распространять полученные результаты на всю совокупность выпускников российских школ.

Стереометрические задачи высокого уровня (С4), рассчитанные на способных и очень хорошо подготовленных учащихся, в 2006 году по вариантам КИМ выполнили в целом 0,1%-1,0% участников экзамена (2005 г. – 0,93% -1,05%). При сравнении итогов 2006 и 2005 г.г. наблюдается некоторое снижение результатов выполнения стереометрической задачи высокого уровня. Это объясняется более высоким уровнем сложности задачи С4 в 2006 году.

Учащиеся с удовлетворительным уровнем математической подготовки не справляются с задачами по геометрии повышенного и, тем более, высокого уровня. Невысоки результаты у учащихся, показавших «хороший» уровень подготовки. Только 8%-15% из них продемонстрировали возможность справляться с задачами по курсу планиметрии, и 10%-20% – по курсу стереометрии. Совсем небольшой процент этой группы выпускников (не более 0,1%) показал возможность справиться с задачами высокого уровня сложности.

По сравнению с остальными выпускниками группа учащихся, продемонстрировавших «высокий» уровень математической подготовки, выделяется и более высоким уровнем геометрической подготовки: 47%-66% этих учащихся справились с задачами повышенного уровня по стереометрии и несколько меньше – 40%-56% показали возможность решать задачи по курсу планиметрии, с задачей высокого уровня, сумели справиться 1%-3,2% (в 2005 г. – 0,6%-0,8%). Они продемонстрировали способность самостоятельно разработать способ решения достаточно сложной стереометрической задачи с нестандартной конфигурацией, применив знания из различных разделов школьного курса геометрии, и математически грамотно записать свое решение, приводя обоснования ключевых моментов решения.

Рекомендации по совершенствованию преподавания математики

Курс алгебры и начал анализа

Анализ результатов выполнения заданий КИМ позволил описать состояние алгебраической подготовки выпускников, продемонстрировавших различные уровни общей математической подготовки.

Таблица 2

Описание алгебраической подготовки участников экзамена в соответствии

с показанным ими уровнем общей математической подготовки

Уровень математической подготовки участника экзамена	Описание подготовки выпускников по алгебре
НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНЫЙ Тестовый балл 1 – 37; Оценка «2»	Выпускники этой группы не овладели ни одним из проверяемых элементов содержания на базовом уровне
УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНЫЙ Тестовый балл 38 – 55; Оценка «3» Процент выпускников – 39,5%	Выпускники этой группы овладели 6 – 8 элементами содержания из 13, которые контролировались с помощью заданий базового уровня сложности в каждом варианте КИМ. Овладели на базовом уровне умением проводить преобразования радикалов и степеней, преобразования логарифмов и тригонометрических выражений с использованием ограниченного набора формул. Эта категория выпускников умеет решать простейшие показательные и логарифмические уравнения, дробно-рациональные неравенства, а также читать по графику некоторые свойства функции
ХОРОШИЙ Тестовый балл 54 – 71; Оценка «4» Процент выпускников – 34,0%	Выпускники этой группы овладели всеми элементами содержания, проверяемыми на базовом уровне: они умеют преобразовывать все изученные виды выражений, решать все проверявшиеся виды уравнений и неравенств, исследовать свойства функций. Овладели (выполняют задания более 50% учащихся данной группы) 3-4 элементами содержания из семи, освоение которых проверялось на повышенном уровне. Они умеют преобразовывать выражения, включающие различные их виды; исследовать свойства функций элементарными методами и с помощью производной; решать комбинированные уравнения
ОТЛИЧНЫЙ Тестовый балл 72 – 100; Оценка «5» Процент выпускников – 7,1%	Выпускники этой группы успешно овладели всеми элементами содержания, проверяемыми на базовом и повышенном уровнях. Овладели не только методами решения всех математических задач при выполнении заданий с выбором ответа и кратким ответом, но и показали умение грамотно и обоснованно записать свое решение при выполнении заданий с развернутым ответом

Анализ результатов экзамена позволил выделить проблемы в обучении математике, которые явно проявляются при сдаче ЕГЭ выпускниками, которые продемонстрировали «удовлетворительный» уровень математической подготовки.

1) Выделяются разделы, темы, вопросы, усвоение которых вызывает серьезные затруднения учащихся. Они допускают грубые ошибки при выполнении заданий базового уровня сложности по следующим темам:

– преобразование тригонометрических выражений3, преобразование логарифмических выражений;

– решение иррациональных уравнений;

– решение логарифмических и показательных неравенств с основанием 0<а<1;

– исследование свойств функций элементарными методами (нахождение области определения, множества значений, распознавание четности (нечетности).

2) Анализ ответов на задания базового уровня сложности выявил, что учащимися не усвоены стандартные алгоритмы выполнения изученных преобразований, основных методов решения уравнений и неравенств, элементарных методов исследования свойств функций. Так, например, допускаются следующие ошибки в преобразовании разности логарифмов в логарифм частного: до 25% участников экзамена пишут в ответе логарифм разности, до 10% – разность чисел, стоящих под знаком логарифма, до 15% – частное чисел, стоящих под знаком логарифма уменьшаемого и вычитаемого.

При решении простейших логарифмических неравенств положение еще более плачевное. Около трети учащихся не учитывают область определения логарифма, еще треть учащихся не меняет знак неравенства на противоположный, когда основание логарифма 0<a<1. При решении иррациональных уравнений около трети учащихся не выполняет проверку корней уравнения, полученных при решении уравнения-следствия.

Учащиеся затрудняются в нахождении области определения функции (например

). Около четверти выпускников за область определения заданной функции принимают область определения корня четной степени, пятая часть экзаменуемых исключает из множества всех действительных чисел только те значения аргумента, при которых знаменатель обращается в ноль.

При выполнении заданий базового и повышенного уровня выпускники допускают много вычислительных ошибок.

3) Очень небольшой процент участников экзамена, получивших оценку «3», справляется только с отдельными заданиями повышенного уровня сложности. Обычно для решения таких задач нужно применить не одну формулу или одно свойство, а две формулы или два свойства, или применить изученные знания (формулы, свойства) в несколько измененной ситуации.

С описанными заданиями повышенного уровня сложности справляются лишь около половины выпускников, получивших оценку «4». Им оказываются под силу лишь те задания, где требуется выполнить более сложные вычисления или преобразования, но школьные «хорошисты» испытывают затруднения в тех заданиях, где нужно изменить стандартный алгоритм решения, согласуясь с данными задачи. Так, при нахождении наибольшего и наименьшего значений сложной функции на заданном отрезке (например, «Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции y = log _0,1(10-x²) на отрезке [-3; 1]») условие задачи провоцирует выпускника на применение стандартного алгоритма исследования функции с помощью производной. Однако анализ условия показывает, что в силу монотонности логарифмической функции и с учетом значений функции y=10-x² на отрезке [-3;1] задачу можно решить элементарным методами, найдя разность y(– 3) – y(0). Очевидно, что школьный «хорошист» имеет теоретическую базу, достаточную, чтобы справиться с этой ситуацией. В ходе обучения необходимо ставить перед учениками такие проблемы, решение которых выходило бы за рамки стандартных алгоритмов, но ученики могли бы с ними справиться, применяя самостоятельно изученный ими материал.