Методическое письмо по преподаванию математики (стр. 16 из 17)
//Ответ: x ≥ –1,5. Варианты ответов: [–1,5; +∞); х
[–1,5; +∞).//Решение:
. Часть 2
Задания с развернутым ответом.
Эти задания направлены на проверку овладения материалом курса на повышенных уровнях. Они выполняются на отдельном листе с записью хода решения. Условия заданий не переписываются, рисунки не перечерчиваются.
Требования к выполнению заданий повышенного уровня заключаются в следующем: решение должно быть математически грамотным, содержать рассмотрение всех возможных случаев (если таковые имеются), из него должен быть понятен ход рассуждений учащегося. Никаких специальных требований к подробности пояснений, оформлению решения не выдвигается.
Общие критерии оценки заданий второй части экзаменационной работы таковы. За полное и правильное выполнение задания учащемуся засчитывается балл, указанный в тексте работы для этого задания. Если в решении допущена ошибка или описка, не влияющая на правильность общего хода решения (даже при неверном ответе) и позволяющая, несмотря на ее наличие, сделать вывод о владении материалом, то учащемуся засчитывается балл, на 1 меньший указанного. Другие случаи критериями не предусматриваются. Это объясняется трактовкой качественных свойств, на измерение которых направлена вторая часть работы: умение выполнять задания комплексного характера, способность к интеграции знаний из различных тем курса алгебры. Эти качества проявляются, только если учащийся обнаруживает умение решить задачу предложенного уровня и содержания.
В описании критериев оценки выполнения конкретных заданий содержатся примеры ошибок/описок, позволяющих засчитать балл, на 1 меньший указанного. Эти примеры, однако, не исчерпывают всех возможных ошибок такого рода. При проверке работ предметной комиссии придется в ряде случаев принимать решение, как квалифицировать тот или иной недочет учащегося.
Задание 1, часть 2
Постройте график функции
. При каких значениях аргумента выполняется неравенство 
?//Ответ: график изображен на рисунке. Неравенство
выполняется при 
.  | //Решение. График функции  – прямая. Найдем координаты точек пересечения этой прямой с осями координат: если х = 0, то у = 1,5; если у = 0, то х = 3. Точки пересечения с осями: (0; 1,5), (3; 0). По графику находим, что неравенство  выполняется при  . |
Другие возможные решения.
График может быть построен по каким-либо другим точкам.
Ответ на вопрос может быть получен решением двойного неравенства
: 
, 
, 
. (Двойное неравенство может быть заменено системой двух линейных неравенств). | Баллы | Критерии оценки выполнения задания |
| 2 | Верно построен график и дан правильный ответ на вопрос. |
| 1 | При правильно построенном графике допущена ошибка при ответе на вопрос, или ответ на вопрос отсутствует. |
| 0 | Неверно построенный график и другие случаи, не соответствующие указанным критериям. |
Комментарий.
При правильно построенном графике отсутствие ссылки на то, что график – прямая, или указания на рисунке координат точек графика не должны служить основанием для снижения выставляемого балла.
Задание 2, часть 2
Упростите выражение
.//Ответ: 4.
//Решение.
1) Корни квадратного трехчлена m2 + m – 2: m1 = –2, m2 = 1. Значит, m2 + m – 2 = (m + 2)(m – 1).
= 
.2)
.Другие возможные решения.
Деление на дробь заменяется умножением на целое выражение и далее используется распределительное свойство:
= 
.В ходе упрощения не использована возможность упрощения дроби
: 
= 
.Кроме того, что не сокращена дробь
, может быть не использована также возможность вынесения за скобки множителя m + 2 при преобразовании числителя. | Баллы | Критерии оценки выполнения задания |
| 4 | При выбранном способе решения все преобразования выполнены верно и получен верный ответ |
| 3 | Допущена одна ошибка: или при преобразовании числителя в ходе упрощения разности в скобках (при правильно найденном общем знаменателе), или неверно выполнено вынесение за скобки множителя в выражении (2m – 2)2, но с учетом полученного результата решение доведено до конца. |
| 0 | Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. |
Комментарий.
Нерациональное решение при верно выполненных преобразованиях не может служить основанием для снижения балла.
Задание 3, часть 2
Существует ли геометрическая прогрессия, в которой b2 = –6, b5 = 48 и b7 = 192?
//Ответ: существует.
//Решение.
Если в геометрической прогрессии b2 = –6 и b5 = 48, то
и q = –2. При этом условии b7 = b5∙ q2 = 48∙4 = 192, т.е. такая прогрессия существует.Другое возможное решение.
Из системы уравнений
находим, что b1 = 3, q = –2. Далее: b7 = b1∙ q6 = 3∙(–2)6 = 192.Возможны также некоторые вариации первого и второго способов. Например, для первого способа нахождение q из условий b5 = 48 и b7 = 192 и затем проверка условия b2 = –6.
| Баллы | Критерии оценки выполнения задания |
| 4 | Правильно найден способ решения и получен верный ответ. |
| 3 | При правильном ходе решения и верном использовании формул допущена техническая ошибка в подсчетах (например, вычислительная, или ошибка в знаке), ответ дан с учетом полученного результата. |
| 0 | Другие случаи, не соответствующие указанным критериям |
Задание 4, часть 2.
При каких положительных значениях к прямая у = kх – 7 пересекает параболу у = х2 + 2х – 3 в двух точках?
//Ответ: при к > 6.
//Решение.
Если прямая у = kх – 7 пересекает параболу у = х2 + 2х – 3 в двух точках, то уравнение kх – 7 = х2 + 2х – 3 имеет два корня. После преобразований получим уравнение х2 + (2 – k)х + 4 = 0. Выясним, при каких k выполняется неравенство D > 0:
D = (2 – k)2 – 16 = k2 – 4k – 12; k1 = –2, k2 = 6. Значит, D > 0 при k < –2 и k > 6.
Учитывая условие k > 0, находим, что k > 6.
| Баллы | Критерии оценки выполнения задания |
| 6 | Найден правильный способ решения, все его шаги выполнены верно, получен правильный ответ |
| 5 | Или допущена одна ошибка технического характера (при преобразовании уравнения, упрощении дискриминанта), но с учетом полученного результата решение доведено до конца, или не учтено условие к > 0. |
| 0 | Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. |
Комментарий.
Ошибки при составлении дискриминанта квадратного уравнения, при решении квадратного неравенства (с учетом найденных корней) относятся к числу существенных. При их наличии решение не может быть засчитано.