скачен с сайта Средней Школы №76, города Санкт-Петербурга (стр. 1 из 4)

Реферат скачен с сайта Средней Школы №76, города Санкт-Петербурга

www.bolotnaya-18.narod.ru

Правильные многогранники

Содержание:

Стр.

1. Введение…………………………………………………………………….3

2. О правильных многогранниках……………………………………………4

2.1. Формула Эйлера……………………………………………………..4

2.2. Доказательство существования пяти правильных многогранников……………………………………………………...5

2.3. Платоновы тела……………………………………………………...6

2.4. Теория Кеплера……………………………………………………...8

2.5. Задача о проверке космической теории Платоновых тел……….10

2.6. Современные гипотезы обустройства мира……………………...11

2.7. Связь многогранников с живой природой………………………..12

3. Заключение………………………………………………………………..15

4. Список литературы……………………………………………………….16

5. ПРИЛОЖЕНИЕ. Содержание слайдов………………………………….17

5.1. Слайд № 7.

5.2. Слайд № 8, 9.

5.3. Слайды № 10, 11.

5.4. Слайд № 12, 13.

5.5. Слайды № 14, 15.

5.6. Слайд № 16, 17.

5.7. Слайд № 19.

ВВЕДЕНИЕ.

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книг о многогранниках. Некоторые из правильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа). Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков. Пять правильных тел изучали Теэтет, Платон, Евклид, Гипсикл и Папп.

Поэтому эпиграфом к своей работе я выбрал слова Л. Кэрролла:

Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробиться в самые глубины различных наук.

В реферате я доказал существование только 5-ти правильных многогранников, вывел закономерность количества граней, вершин и ребер правильных многогранников (формулу Эйлера), рассмотрел свойства тел Платона, их место в философской картине мира, разработанной мыслителем Платоном. Меня заинтересовала модель Солнечной системы – «Космический кубок» Кеплера и я попытался доказать истинность гипотезы Кеплера с помощью математических выкладок.

2. О правильных многогранниках.

2.1. Формула Эйлера (Слайд №18)

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у него граней, сколько ребер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и зафиксируем результаты в таблице 1.

Таблица 1

Правильный многогранник	Число
	Граней	Вершин	Ребер
Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр	4 6 8 12 20	4 8 6 20 12	6 12 12 30 30

Рассматривая табл. 1, зададимся вопросом: «нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» По-видимому, нет. Вот в столбце «грани» все сначала пошло хорошо (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), а потом намеченная закономерность «провалилась» (8 + 2

). В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания. Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12). В столбце «ребра» закономерности тоже не видно.

Мы сравнивали числа внутри одного столбца. Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г + В). Сравним новую таблицу своих подсчетов (см. табл. 2).

Таблица № 2

Правильный многогранник	Число
	Граней и вершин (Г + В)	Ребер (Р)
Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр	4 + 4 = 8 6 + 8 = 14 8 + 6 = 14 12 + 20 = 32 20 + 12 = 32	6 12 12 30 30

Вот теперь закономерность видна.

Сформулируем ее так: «Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2»: Г + В = Р + 2.

Итак, получена формула, которая была подмечена уже Декартом в 1640 году, а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

2.2. Доказательство существования пяти правильных многогранников.

Зададимся вопросом о том, сколько правильных многогранников существует?

Предположим, что правильный многогранник имеет

Г граней, из которых каждая есть правильный n-угольник,

у каждой вершины сходятся k ребер,

всего в многограннике В вершин и Р ребер,

причем n

3, поскольку у каждой вершины сходится не менее трех сторон,

и k

3, поскольку у каждой вершины сходится не менее трех ребер.

Считая ребра по граням, получим: n

Г = 2Р.

Каждое ребро принадлежит двум граням, значит, в произведении

n

Г число Р удвоено.

Считая ребра по вершинам, получим: k

В = 2Р, поскольку каждое ребро упирается в 2 вершины. Тогда равенство Эйлера дает:

или . (*)

По условию

, тогда , т.е. n и k не могут быть более трех. Например, если бы было n = 4 и k = 4, то тогда и Прикидкой можно проверить, что и другие значения n и k, большие 3, не удовлетворяют равенству (*). Значит, либо k = 3, либо n = 3.

Пусть n = 3, тогда равенство (*) примет вид:

или

Поскольку

может принимать значения , ,

т.е. k = 3, 4, 5.

Если k = 3, n = 3, то P = 6, Г =

В = - это тетраэдр (см. табл. 1).

Если k = 4, n = 3, то Р = 12, Г =

, В = - это октаэдр.

Если k = 5, n = 3, то Р = 30, Г =

В = - это икосаэдр.

Пусть теперь k = 3, тогда равенство (*) примет вид:

, или

Отсюда следует, что n может принимать значения 3, 4, 5.

Случай n = 3 разобран.

Остаются два случая:

n = 4 при k = 3, тогда

, т.е. Р = 12, Г = , В = - это куб.

n = 5 при k = 3, тогда

, Р = 30, Г = 12, В = 30 - это додекаэдр.

Мы доказали, что существует пять и только пять правильных выпуклых многогранников. Доказательство того, что больше не может быть, содержится в «Началах» Эвклида, причем автором этого доказательства считается Теэтет. Известно, что в течение нескольких лет Теэтет состоял в Академии и был близок к Платону, и этой близостью можно объяснить то обстоятельство, что Платон оказался знакомым с новейшими в то время открытиями в области стереометрии.

2.3. Платоновы тела. ( Слайд № 4)