Реферат скачен с сайта Средней Школы №76, города Санкт-Петербурга
www.bolotnaya-18.narod.ru
Правильные многогранники
Содержание:
Стр.
1. Введение…………………………………………………………………….3
2. О правильных многогранниках……………………………………………4
2.1. Формула Эйлера……………………………………………………..4
2.2. Доказательство существования пяти правильных многогранников……………………………………………………...5
2.3. Платоновы тела……………………………………………………...6
2.4. Теория Кеплера……………………………………………………...8
2.5. Задача о проверке космической теории Платоновых тел……….10
2.6. Современные гипотезы обустройства мира……………………...11
2.7. Связь многогранников с живой природой………………………..12
3. Заключение………………………………………………………………..15
4. Список литературы……………………………………………………….16
5. ПРИЛОЖЕНИЕ. Содержание слайдов………………………………….17
5.1. Слайд № 7.
5.2. Слайд № 8, 9.
5.3. Слайды № 10, 11.
5.4. Слайд № 12, 13.
5.5. Слайды № 14, 15.
5.6. Слайд № 16, 17.
5.7. Слайд № 19.
ВВЕДЕНИЕ.
Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книг о многогранниках. Некоторые из правильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа). Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков. Пять правильных тел изучали Теэтет, Платон, Евклид, Гипсикл и Папп.
Поэтому эпиграфом к своей работе я выбрал слова Л. Кэрролла:
Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробиться в самые глубины различных наук.
В реферате я доказал существование только 5-ти правильных многогранников, вывел закономерность количества граней, вершин и ребер правильных многогранников (формулу Эйлера), рассмотрел свойства тел Платона, их место в философской картине мира, разработанной мыслителем Платоном. Меня заинтересовала модель Солнечной системы – «Космический кубок» Кеплера и я попытался доказать истинность гипотезы Кеплера с помощью математических выкладок.
2. О правильных многогранниках.
2.1. Формула Эйлера (Слайд №18)
Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у него граней, сколько ребер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и зафиксируем результаты в таблице 1.
Таблица 1
Правильный многогранник | Число | ||
Граней | Вершин | Ребер | |
Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр | 4 6 8 12 20 | 4 8 6 20 12 | 6 12 12 30 30 |
Рассматривая табл. 1, зададимся вопросом: «нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» По-видимому, нет. Вот в столбце «грани» все сначала пошло хорошо (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), а потом намеченная закономерность «провалилась» (8 + 2
Мы сравнивали числа внутри одного столбца. Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г + В). Сравним новую таблицу своих подсчетов (см. табл. 2).
Таблица № 2
Правильный многогранник | Число | |
Граней и вершин (Г + В) | Ребер (Р) | |
Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр | 4 + 4 = 8 6 + 8 = 14 8 + 6 = 14 12 + 20 = 32 20 + 12 = 32 | 6 12 12 30 30 |
Вот теперь закономерность видна.
Сформулируем ее так: «Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2»: Г + В = Р + 2.
Итак, получена формула, которая была подмечена уже Декартом в 1640 году, а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.
2.2. Доказательство существования пяти правильных многогранников.
Зададимся вопросом о том, сколько правильных многогранников существует?
Предположим, что правильный многогранник имеет
Г граней, из которых каждая есть правильный n-угольник,
у каждой вершины сходятся k ребер,
всего в многограннике В вершин и Р ребер,
причем n 3, поскольку у каждой вершины сходится не менее трех сторон,
и k 3, поскольку у каждой вершины сходится не менее трех ребер.
Считая ребра по граням, получим: n
Каждое ребро принадлежит двум граням, значит, в произведении
n
Считая ребра по вершинам, получим: k
По условию
Пусть n = 3, тогда равенство (*) примет вид:
Поскольку
т.е. k = 3, 4, 5.
Если k = 3, n = 3, то P = 6, Г =
Если k = 4, n = 3, то Р = 12, Г =
Если k = 5, n = 3, то Р = 30, Г =
Пусть теперь k = 3, тогда равенство (*) примет вид:
Отсюда следует, что n может принимать значения 3, 4, 5.
Случай n = 3 разобран.
Остаются два случая:
n = 4 при k = 3, тогда
n = 5 при k = 3, тогда
Мы доказали, что существует пять и только пять правильных выпуклых многогранников. Доказательство того, что больше не может быть, содержится в «Началах» Эвклида, причем автором этого доказательства считается Теэтет. Известно, что в течение нескольких лет Теэтет состоял в Академии и был близок к Платону, и этой близостью можно объяснить то обстоятельство, что Платон оказался знакомым с новейшими в то время открытиями в области стереометрии.
2.3. Платоновы тела. ( Слайд № 4)