работа «Изучение процентов в курсе средней школы» (стр. 6 из 8)

Задача 24. Какая сумма будет на счете через 4 года, если на него положены 2000 р. под 30% годовых?

Решение. Это задача на сложный процентный рост: к = а·(1+

) ,

к = 2000·(1+

) =5712,2 (р.).

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 25. На сколько процентов увеличится сумма, вложенная на 5 лет в банк, начисляющий 20% годовых?

Задача 26. За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 8% годовых. Вкладчик положил на счет 5000 рублей и решил в течение 5 лет не снимать со счета деньги и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счете вкладчика через год, через 2 года? Через 5 лет?

Задача 27. На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимостью 350 р. уценили на 40% , а через неделю – еще на 5%. В другом магазине шарф такой же стоимости уценили сразу на 45%. В каком магазине выгоднее купить шарф?

Тема 6. Задачи на сплавы, смеси, растворы

Теоретическая часть

Приступая к решению задач ,связанных с понятиями «концентрация» и «процентное содержание», необходимо объяснить учащимся, что обычно в условиях таких задач речь идет о составлении сплавов, растворов, смесей из двух или нескольких веществ. При решении таких задач принимаются следующие основные допущения:

· Все получающиеся сплавы или смеси однородны;

· При слиянии двух растворов, имеющих объемы

и и , получается смесь , объем которой равен V = + ;

· При слиянии двух растворов масса смеси равняется сумме масс, составляющих ее компонентов.

Объемной концентрацией компонента А называется отношение объема чистого компонента (

) в растворе ко всему объему смеси( ):

= = , . (1)

Объемным процентным содержанием компонента А называется величина

, то есть концентрация этого вещества, выраженная в процентах.

Аналогично определяются массовая концентрация и процентное содержание: отношение массы чистого вещества А в сплаве к массе всего сплава. Под процентным содержанием вещества понимается часть, которую составляет вес этого вещества от веса всего соединения.

Например: имеется сплав из 10кг олова и 15кг цинка. Вес сплава 10=15=25(кг). Олово составляет 10\25=0,4 часть, а в процентах – 40%.Цинк 15\25=0,6 часть, а в процентах - 60%.

Обратите внимание, что 0,4+0,6=1 или 40%+60%=100%

Для решения задач на смеси и сплавы удобно ввести в рассмотрение объем или массу каждой смеси, а также концентрации составляющих их компонентов. С помощью концентрации нужно «расщепить» каждую смесь на отдельные компоненты, как это сделано в формуле (1), а затем указанным в условии задачи способом составить новую смесь. При этом легко посчитать, какой объем (массу) этой смеси. После этого определяются концентрации компонентов в новой смеси.

Концентрация-это число, показывающее сколько процентов от всей смеси составляет растворимое вещество. Если масса m кг, масса растворимого вещества а кг, концентрация р%, то между этими величинами существует зависимость:

. Работу с этой формулой можно оформить в виде таблицы:

Масса смеси m, кг	Масса растворимого вещества а, кг	Концентрация р, %
10	1	=10%
5	2	= 0, 4 = 40%
4	0,5	0,125 =12,5%
		= k

Например: если в сплаве весом 300г концентрация серебра составляет 87%,то в этом сплаве 0,87*300=261(г) чистого серебра.

Иногда в задачах на сплавы необходимо, чтобы учащиеся знали понятие пробы. Проба - это число, показывающее сколько граммов чистого драгоценного металла содержится в одном кг сплава. Введенные понятия закрепляются при решении задач.

Задача 28. Сплавили два слитка серебра: 600-й пробы 75г и 864-й пробы 150 г. Определите пробу сплава. Ответ: 776-й пробы.

Практическая часть

Задача 29. К 10 кг 5% раствора соли добавили 5 л воды. Определите % содержание соли в новом растворе.

Решение: определим, сколько соли в растворе.

5%=0,05 10*0,05=0,5(кг) соли.

Найдем массу нового раствора : 10+5=15(кг)

Р=0,5\15*100%=10\3%=3 1\3%

Ответ: 3 1\3%

Задача 30.Сколько г воды надо добавить к 100 г 30% -й соляной кислоты, чтобы получить 10% -ю кислоту.

Решение: пусть нужно добавить х г воды.В 100 г 30% раствора 0,3*100=30(г) соли.

(100+х)г-масса нового раствора.

0,1*(100+х)=30

10+0,1х=30

0,1х=20

х=200 Ответ:200г

Задача 31.Смешали 40% и 10% растворы соляной кислоты и получили 600 г 15%раствора

Сколько г каждого раствора было взято?

Решение: пусть х г взято 40% раствора, у=10% раствора.

х+у=600

0,4х+0,1у=0,15*600

-0,4х-0,4у=-240

0,4+0,1у=90

у=500, х=600-500=100.

Ответ: 100г 40% раствора, 500г 10% раствора.

Задача 32. Один раствор содержит 30% по объему азотной кислоты, а второй - 55% азотной кислоты. Сколько нужно взять первого и второго раствора, чтобы получить 100 л 50% -го раствора азотной кислоты?

Оформим решение в виде таблицы. В условии указаны два раствора и их смесь. Величины, входящие в задачу: объем раствора

, концентрация к %, объем кислоты . формула зависимости:

Раствор	Объем раствора, л	Концентрация, %	Объем кислоты, л
1-й раствор	х	30%=0,3	х·0,3
2-й раствор	100-х	55%=0,55	(100-х)·0,55
смесь	100	50%=0,5	100·0,5

Поскольку объем кислоты смеси равен сумме объемов кислоты в растворах, то можно составить уравнение 0,3х+0,55(100-х)=50, решив которое получим, что х=20. Проверка:6+44=50. Ответ:20 л, 80 л.

Задача 33. Сплав меди с цинком, содержащий 5 кг цинка, сплавлен с 15 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось по сравнению с первоначальным на 30%. Найти первоначальную массу сплава.

Решение. Сплавов в задаче два: первоначальный сплав и второй сплав с добавлением 15 кг цинка. Величины: масса сплава

кг, масса меди кг, процент содержания меди а %. Формула зависимости: , .

Пусть х кг – масса первоначального сплава, тогда (х-5) кг – масса меди в нем, а

- процент ее содержания в сплаве. Далее, (х+15)кг – масса сплава после прибавления 15 кг цинка. При этом масса меди осталась та же. Отсюда - процентное содержание меди в новом сплаве.

Известно, что

больше на 30%. Составляем уравнение: =30. после преобразований оно приводится к виду