Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией финансового факультета для студентов высших учебных заведений экономических специальностей Нижний Новгород (стр. 6 из 28)
При этом обозначено: Xi – значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов; m - показатель степени, от значения которого зависят виды средних величин. Используя формулы (15) и (16) при разных показателях степени m, получаем частные формулы каждого вида (см. таблицу 2).
Таблица 2. Виды степенных средних и их применение
| m | Название средней | Формула расчета средней | Когда применяется | |
| простая | взвешенная | |||
| 1 | Арифметическая |  =  (17) | =  (18) | Чаще всего, кроме тех случаев, когда должны применяться другие виды средних |
| –1 | Гармоническая |  ГМ =  (19) | ГМ =  (20) | Для осреднения величин с дробной размерностью при наличии дополнительных данных по числителю дробной размерности |
| 0 | Геометрическая |  (21) |   (22) | Для осреднения цепных индексов динамики |
| 2 | Квадратическая |  =  (23) |  =  (24) | Для осреднения вариации признака (расчет средних отклонений) |
| 3 | Кубическая |  =  (25) |  =  (26) | Для расчета индексов нищеты населения |
| 1 | Хронологическая |  (27) |  (28) | Для осреднения моментных статистических величин |
Выбор вида формулы средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять. Показатель степени m в общей формуле средней величины оказывает существенное влияние на значение средней величины: по мере увеличения степени возрастает и средняя величина (правило мажорантности средних величин), то есть 
< 
< 
< 
< 
. Так, если
, то 
, а если 
, то 
.В нашей задаче, применяя формулу (18) и подставляя вместо
середины интервалов возраста ХИ, определяем средний возраст студентов: 
= 549,163/25 = 21,967 (года). Теперь осталось определить типичность или нетипичность найденной средней величины. Это осуществляется с помощью расчета показателей вариации. Чем ближе они к нулю, тем типичнее найденная средняя величина для изучаемой статистической совокупности. При этом критериальным значением коэффициента вариации служит 1/3.Коэффициенты вариации рассчитываются как отношение среднего отклонения к средней величине. Поскольку среднее отклонение может определяться линейным и квадратическим способами, то соответствующими могут быть и коэффициенты вариации.
Среднее линейное отклонение определяется по формулам (29) и (30):
– простое; (29) 
– взвешенное. (30)Среднее квадратическое отклонение определяется как корень квадратный из дисперсии, то есть по формуле (31):
. (31)Дисперсия определяется по формулам (32) или (33):
– простая; (32) 
– взвешенная. (33)В нашей задаче, применяя формулу (30), определим ее числитель и внесем в расчетную таблицу. В итоге получим среднее линейное отклонение: Л = 54,937/25 = 2,198 (года). Разделив это значение на средний возраст, получим линейный коэффициент вариации:
= 2,198/21,967 = 0,100. По значению этого коэффициента для рассмотренной группы студентов делаем вывод о типичности среднего возраста, т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериального (0,100 < 0,333).Применяя формулу (33), получим в итоге дисперсию: Д = 164,018/25 = 6,561. Извлечем из этого числа корень и получим в результате среднее квадратическое отклонение:
= 
= 2,561 (года). Разделив это значение на средний возраст, получим квадратический коэффициент вариации: 
= 2,561/21,967 = 0,117. По значению этого коэффициента для рассмотренной группы студентов можно сделать вывод о типичности среднего возраста, т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериального (0,117 < 0,333).В качестве показателей асимметрии используются: коэффициент асимметрии – нормированный момент третьего порядка (34) и коэффициент асимметрии Пирсона (35):
, (34) 
. (35)Если значение коэффициента асимметрии положительно, то в ряду преобладают варианты, которые больше средней (правосторонняя скошенность), если отрицательно – левосторонняя скошенность. Если коэффициент асимметрии равен 0, то вариационный ряд симметричен.
В нашей задаче
= 
=383,636/25 = 15,345; 
=2,5613= 16,797; 
=15,345/16,797 = 0,914 > 0, значит, распределение студентов по росту с правосторонней асимметрией. Это подтверждает и значение коэффициента асимметрии Пирсона: As = (21,967-20)/2,561 = 0,768.Для характеристики крутизны распределения используется центральный момент 4-го порядка:
= 
. (36)Для образования безразмерной характеристики определяется нормированный момент 4-го порядка
, который и характеризует крутизну (заостренность) графика распределения. При измерении асимметрии эталоном служит нормальное (симметричное) распределение, для которого 
=3. Поэтому для оценки крутизны данного распределения в сравнении с нормальным вычисляется эксцесс распределения (37):