Факультет: Кибернетики Кафедра: Биомедицинская Электроника работа “Расчёт асцитной гепатомы Зайдела” Дисциплина: “Моделирование в медицине” (стр. 2 из 2)

6.58x + 5y – 18.63 = 0

Решая эту систему, получаем:

Следовательно, аппроксимирующая функция будет иметь вид:

2.5. Расчёт коэффициентов итерационным методом Ньютона

2.5.1 Алгоритм метода Ньютона.

Метод Ньютона представляет собой метод наискорейшего спуска с шагом, длина которого зависит от свойств минимизируемой функции. Метод Ньютона основан на квадратической аппроксимации минимизируемой функции в окрестности точки x^(k), где (k) – номер итерации Минимум квадратической функции легко найти, приравнивая ее градиент нулю. Можно сразу же вычислить положение экстремума и выбрать его в качестве следующего приближения к точке минимума. Новая итерация вычисляется по формуле:

(2.12)

Пусть f(x) - минимизируемая фукнция с векторным аргументом

. Алгоритм наискорейшего спуска реализует итерационную процедуру движения к минимуму из произвольно выбранной точки начального приближения в направлении наиболее сильного уменьшения функции, определенном в окрестности текущего значения аргумента минимизируемой функции. Такое направление противоположно направлению, задаваемому вектором градиента минимизируемой функции f(x):

(2.13)

Вычисляя точку нового приближения по формуле (2.12) и разлагая f(x^(k+1)) в ряд Тейлора, получим формулу квадратической аппроксимации f_кв(x^(k+1)):

, где

(2.14)

- матрица вторых производных:

(2.15)

Условие минимума f_кв(x^(k+1)) по

. Вычислим градиент из (2.14):

(2.16)

Для учета фактических особенностей минимизируемой функции будем использовать в (2.16) значения градиента и матрицы вторых производных, вычисленных не по аппроксимирующей f_кв(x), а непосредственно по минимизируемой функции f(x). Заменяя f_кв(x) в (2.16), найдем длину шага

(2.17)

Итак, последовательность вычислений для реализации алгоритма метода Ньютона:

1. Произвольно задать точку начального приближения x⁽⁰⁾
2. В цикле по номеру итерации k=0,1… вычислить:
1. Значение вектора градиента
   по формуле (2.13)
2. Значение матрицы вторых производных
   по формуле (2.15)
3. Значение матрицы, обратной матрице вторых производных
4. Значение шага
   по формуле (2.17)
5. Новое значение приближения x⁽⁰⁾ по формуле (2.12)
3. Закончить итерационный процесс при достижении нужного приближения.[2]

2.5.2 Расчёт коэффициентов степенной функции методом Ньютона

За минимизируемую функцию возьмём среднеквадратичное отклонение (СКО) между исходными точками и аппроксимированными аналитической функцией:

(2.18)

За начальные приближения выберем:

Для случая со степенной функцией формулы (2.13) и (2.15) имеют следующий вид:

Итерации:

1. Первая итерация.

1. Вторая итерация.

1. Третяя итерация.

1. Четвёртая итерация.

1. Пятая итерация.

1. Шестая итерация.

Итерационный цикл закончен, т.к. результат вычисления коэффициентов совпал с рассчитанными на ПК (п.2.2).

2.6. Результаты

Коэффициенты аппроксимирующей степенной функции были рассчитаны тремя способами: на ПК, безытерационным методом наименьших квадратов (метод нормальных уравнений) и методом наискорейшего спуска (метод Ньютона). Все они дали одинаковые результаты с точностью

.

3. Расчёт биологических параметров.

3.1. Время жизни организма без лечения и запас жизненных сил.

Время жизни организма без лечения (T_ж(до)) рассчитывается как последний день в исходных данных плюс трое суток.

Запас жизненных сил определяют как площадь под аналитической кривой от начала заболевания до летального исхода.

(3.1)

Рис. 3.1. Иллюстрация по запасу жизненных сил.

3.2. Дозовая зависимость.

Рис. 3.2. График дозовой зависимости

Задержку роста опухоли определяют по данным дозовой зависимости.

Вводимая доза: D=0.8 МПД

Задержка введения доз:

суток

Задержка роста опухоли:

(3.2)

3.3. Расчёт времени жизни организма после курса лечения.

Величина запаса жизненных сил не меняется со временем и является величиной постоянной. На основании этого факта можно произвести расчёт времени жизни организма после курса лечения. Поскольку при введении дозы препарата происходит задержка роста опухоли, представим этот процесс в виде аналитической кусочно-прерывной функции из трёх интервалов: первый – до первого введения дозы, второй и третий - после соответствующего введения дозы с задержкой в 5 суток (Рис.3.3).

(3.3)

Соответственно, время жизни организма после курса лечения можно получить из следующего уравнения запаса жизненных сил:

(3.4)

Рис. 3.3. График роста опухоли после лечения.

Необходимо проверить, не умрёт ли организм до окончания цикла лечения. Для этого просчитаем расход запаса жизненных сил до второго введения:

,

следовательно организм не умрёт до завершения цикла лечения.

По формуле (3.4) рассчитываем время жизни после цикла лечения:

Результаты

Развитие опухоли лучше всего аппроксимирует степенная функция. При двукратном введении дозы уровнем 0.8 МПД, организм сможет прожить 10.5 суток.

Рис. 4.1. Смоделированный график развития опухоли до летального исхода

Список литературы

1. Пыльнов Ю.В. Регрессионный анализ полиномиальных моделей. – М.: МИРЭА, 1994, 56 с.
2. Ван дер Варден Б.Л. Математическая статистика. – М: Эдиториал УРСС, 2006, 435 c.