Методические рекомендации по выполнению расчетного задания по курсу «Основы автоматического управления» (стр. 2 из 3)
Разложим функцию
стоящую в правой части уравнения (2), в ряд по степеням указанных выше малых отклонений и ограничимся линейными слагаемыми:
. (3)Если вычесть из уравнения (3) почленно уравнение (1) для стационарного режима, получим линеаризованное дифференциальное уравнение в приращениях
,или
. (4)Решение нелинейного уравнения (2), находят в виде
,где
– решение линейного уравнения (4), которое может быть получено, например, с использованием операторного метода Лапласа.1.1 Практическая часть
Осуществить линеаризацию в окрестности стационарной точки нелинейного уравнения, описывающего изменение уровня жидкости в гидравлической емкости при наличии притока и стока жидкости [1]:
,где
– объемная скорость притока жидкости; 
– высота слоя жидкости в емкости; 
– площадь поперечного сечения емкости; 
– коэффициент пропускной способности дросселя на стоке жидкости.2 КУСОЧНО-ЛИНЕЙНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
НЕЛИНЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Метод кусочно-линейной линеаризации применим для нелинейных объектов, статические характеристики которых могут быть представлены в виде суммы отрезков линейных характеристик. Для каждого отрезка характеристики справедливо линейное дифференциальное уравнение [2]. Переход от одного участка к другому осуществляется «припасовыванием» отдельных решений. При этом решение для кон-
ца одного участка является начальным условием для следующего
и т.д.
В результате решение нелинейного дифференциального уравнения заменяется решением совокупности линейных дифференциальных уравнений, соответствующих прямолинейным отрезкам линеаризованной характеристики.
В соответствии с определением данного метода, решение нелинейного уравнения включает в себя в общем случае следующие основные этапы:
1. Исходная нелинейная характеристика заменяется ломаной линией с конечным числом прямолинейных отрезков.
2. Для каждого участка ломаной определяются эквивалентные параметры линейного уравнения.
3. Решается линейная задача для каждого отрезка в отдельности.
Рассмотрим объект, описываемый нелинейным дифференциальным уравнением вида:
, (5)где
– выходная величина;
– входное воздействие; 
– нелинейная функция, которую можно представить в виде суммы линейной 
и нелинейной 
частей.Выберем для нелинейной функции
два интервала линеаризации [ 0, y1], [ 0, y2] (рисунок 1), на которых нелинейная функция будет заменена совокупностью линейных функций по следующему правилу: 
где
– уравнение линейной характеристики;ai, bi – коэффициенты линейного уравнения, подлежащие определению;
i – номер интервала линеаризации.
f2 – нелинейная функция;
– линейные функцииРисунок 1 – Кусочная линеаризация нелинейной функции
Для определения коэффициентов линейных уравнений рассмотрим каждый интервал отдельно.
Для 1-го интервала линейная функция примет вид
.В точке
получим 
, откуда 
и 
.В точке
получим 
, откуда 
.Таким образом, решение нелинейного уравнения (5) на 1-ом интервале сводится к решению линейного уравнения следующего вида:
Для 2-го интервала линейная функция примет вид
.В точке
получим 
, откуда 
.В точке
получим 
,откуда
.По аналогии коэффициенты линейного уравнения для
-го интервала определяются по следующим соотношениям: 
, 
.Решение нелинейного дифференциального уравнения (5) заменяется совокупностью решений трех линеаризованных дифференциальных уравнений на отдельных интервалах.
2.1 Практическая часть
Осуществить кусочно-линейную линеаризацию на 3-х интервалах нелинейного уравнения, описывающего изменение уровня жидкости в гидравлической емкости при наличии притока и стока жидкости [1]:
,где
– объемная скорость притока жидкости; 
– высота слоя жидкости в емкости; 
– площадь поперечного сечения емкости; – коэффициент пропускной способности дросселя на стоке жидкости.3 ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
Гармоническое представление сигналов может быть положено
в основу приближенного метода исследования периодических режимов в нелинейных автоматических системах. Наличие в системе одного или нескольких нелинейных звеньев при определенных условиях
приводит к появлению в системе предельных циклов, то есть собственных периодических колебаний системы при отсутствии внешних воздействий. Параметры этих колебаний (амплитуда и частота) могут быть приближенно определены путем гармонической линеаризации
нелинейностей, которая основана на принципе гармонического балан-са [3].
Этот принцип вытекает из следующего положения – несмотря на то, что колебания нелинейных систем редко описываются простыми гармоническими функциями времени, они чаще всего периодичны или близки к периодическим колебаниям, которые могут быть представлены в виде ряда Фурье из синусных и косинусных гармоник. Во многих случаях существенной оказывается лишь амплитуда основной гармоники. Согласно принципу гармонического баланса исходное нелинейное уравнение можно заменить линейным, решение которого совпадает с первым приближением решения нелинейного уравнения. Этот способ называется методом эквивалентной линеаризации. Более точные приближения решения могут быть получены, если дополнительно к основной гармонике учесть и высшие так, чтобы исходное нелинейное уравнение удовлетворялось по всем частотам учтенных компонент [4].
За линеаризацию приходится платить тем, что коэффициенты получаемого линейного уравнения оказываются переменными, зависящими
от параметров входного сигнала (амплитуды и частоты) или от вре-мени.