Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой вм и по 13 февраля 2008 г., протокол №5 Рецензент Кацуба В. С., канд физ мат наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения (стр. 8 из 10)
Допустим, существует оптимальное управление
и соответствующая ему оптимальная траектория 
, удовлетворяющие условиям задачи.Введем вспомогательную вектор-функцию
, где 
– неизвестные функции, кусочно-непрерывные на 
, и построим функцию Гамильтона-Понтрягина (гамильтониан): 
. (10)Очевидно, что
.При фиксированных
гамильтониан является функцией управления. Можно доказать, что если u*(t) – оптимальное управление, то при u = u*(t) гамильтониан достигает максимума по управлению и выполняются условия 
Принцип максимума Понтрягина.
Если
– оптимальное управление, переводящее систему из состояния 
в 
и 
– соответствующая ему оптимальная траектория, которая в первый раз достигает точки в момент t1, то1) существует вектор
, соответствующий u*(t) и 
, причем и являются решениями системы дифференциальных уравнений 
(11)удовлетворяющими условиям
, 
; (12)2) в каждой точке непрерывности функции u*(t) достигается максимум гамильтониана по управлению:
. (13)Система (11) называется канонической системой задачи оптимального управления. Для получения ее частного решения (определения констант интегрирования) используют граничные условия (12).
Принцип максимума представляет собой необходимое условие оптимальности. Если получается несколько управлений, удовлетворяющих условиям (11)-(13), то проверяют выполнение достаточных условий, или выбирают одно из них, исходя из смысла задачи.
Идея принципа максимума: чтобы найти u*(t) – оптимальное управление, минимизирующее функционал I [u (t)], нужно найти управление, максимизирующее гамильтониан:
.Решение примерного варианта контрольной работы
Задача 1. Дана формула алгебры логики:
.Требуется:
1) при помощи равносильных преобразований упростить формулу;
2) построить релейно-контактные схемы для исходной и упрощенной формул.
Решение.
1). Упростим заданную формулу, используя принятый порядок выполнения операций
. Сначала выразим импликации через дизъюнкции согласно формуле 12 основных равносильностей:x ® y º
Ú y 
x ® 
Ù y º 
Ú ( Ù y), y ® z º 
Ú z,затем используем формулы 16, 11 и 21:
x Ù y º y Ù x
Ù y º y Ù , 
Ú z º z Ú ,x Ú (y Ù x) º x 
Ú (y Ù ) º ,x Ú (y Ù z) º (x Ú y) Ù (x Ú z) 
(z Ú
) Ù (z Ú ) º z Ú ( 
Ù ),откуда получаем:
º 
.2). Построим РКС для исходной формулы А, используя таблицу простейших РКС и соответствующих им формул логики:
– конъюнкции
Ù y соответствует последовательное соединение элементов и y;– импликации x ®
Ù y соответствует параллельное соединение элементов 
и ( Ù y);дизъюнкции z Ú (x ®
Ù y) соответствует параллельное соединение элементов z и (x ® Ù y);– импликации y ® z соответствует параллельное соединение элементов
и z;– конъюнкции
соответствует последовательное соединение элементов (z Ú (x ® Ù y)) и (y ® z).Построим РКС для упрощенной формулы
: конъюнкции Ù соответствует последовательное соединение элементов и 
, а дизъюнкции z Ú ( Ù ) соответствует параллельное соединение элементов z и ( Ù ).Полученные в результате РКС изобразим на рис. 5.
Ответы:
1) результат упрощения формулы A:
;2) РКС, соответствующие исходной формуле А и упрощенной формуле А0 приведены на рис. 5.
Задача 2. Дана булева функция f (x, y) = (x Ú y) ® (x Ù
Ú 
® 
). Составить таблицу значений функции и указать значение f (0, 1).