Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой вм и по 13 февраля 2008 г., протокол №5 Рецензент Кацуба В. С., канд физ мат наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения (стр. 7 из 10)
Пример. Найти экстремали функционала
, удовлетворяющие граничным условиям y(0) = 0, y(ln2) = 2.Решение. Запишем уравнение Эйлера (7) для данного функционала. Для подынтегральной функции
, получаем частные производные 
, 
.Тогда уравнение Эйлера:
или 
. Учитывая, что 
, получаем 
– однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно функции y (x).Его характеристическое уравнение k2 – k = 0 имеет корни k1 = 0, k2 = 1.
Напомним, что общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения имеет вид:
, если 
(корни вещественные различные); 
, если 
(корни вещественные равные); 
, если 
(корни комплексно-сопряженные).В данном случае k1 = 0, k2 = 1,
и общее решение уравнения имеет вид 
.Определим произвольные постоянные С1, С2 из граничных условий
Отсюда получаем С1 = –2, С2 = 2, следовательно, экстремаль функционала
.Ответ.
.5. Оптимальное управление
5.1. Математическая модель системы управления
Система управления состоит из управляющего устройства (УУ) и объекта управления (ОУ). Примерами систем управления служат семейный бюджет, экономика отрасли, технологический процесс, научное исследование и т.д.
УУ передает в ОУ сигнал – управление. Управление может быть механическим воздействием, электромагнитным импульсом, потоком инвестиций и др. Под воздействием сигнала u (t), где t – время, u (t) – скалярная или векторная функция, система изменяет свое состояние (возможна обратная связь). Простейшая математическая модель системы управления без учета внешних воздействий включает:
• модель ОУ – оператор, в соответствии с которым осуществляется преобразование входа – управления u (t) в реакцию системы;
• алгоритм управления, который зависит от цели управления и наличия обратной связи.
В общем случае состояние динамической системы управления характеризуется n-мерным вектором (матрицей-столбцом)
,где xj(t) для j = 1,2,…,n называют фазовыми координатами, а
– фазовым вектором.Например, положение самолета определяет 6-мерный вектор, в котором 3 координаты задают положение центра масс самолета в пространстве и 3 координаты – его вращение относительно центра масс. Курс самолета – это вектор-функция
.Модель ОУ обычно описывается уравнениями состояний, отражающих законы физики, экономики и прочее. Довольно часто процесс управления без учета внешних воздействий может быть задан системой обыкновенных дифференциальных уравнений:
(8)или, в векторной форме:
, где 
– вектор-функция, характеризующая изменение состояния системы, u (t) – функция управления. В реальных условиях множество управлений ограничено: 
, где U – класс допустимых управлений.Для того, чтобы процесс управления был определен на некотором промежутке
, необходимо задать начальное состояние системы – вектор 
. Тогда 
будет соответствовать траектория – вектор-функция 
, переводящая систему из состояния 
в 
– состояние, достижимое из состояния на данном классе управлений U.5.2. Оптимальное управление динамической системой
Рассмотрим некоторый процесс управления без учета внешних воздействий, заданный системой обыкновенных дифференциальных уравнений
, где 
– заданная вектор-функция, u (t) – функция управления из некоторого класса допустимых управлений U, и 
соответствует фазовый вектор 
(траектория).Если определена цель управления, то имеет смысл искать наилучшее (оптимальное) управление для достижения этой цели. В большинстве случаев цель управления можно задать в форме вариационной задачи – поиска экстремума некоторого функционала I [u (t)] на классе допустимых управлений U. Тогда задача оптимального управления: найти оптимальное управление u*(t) и соответствующую ему оптимальную траекторию
, для которых 
(другая форма записи: 
),или
( 
).Функционал I [u ] называется критерием качества управления. Например, в так называемой «задаче Лагранжа» роль критерия качества выполняет интегральный функционал вида
(9)где
– заданная функция.5.3. Принцип максимума Понтрягина
Рассмотрим простейшую задачу управления: задана модель системы управления
, где , 
– непрерывная вектор-функция, 
– функция управления, и критерий качества управления 
.Пусть каждому управлению
соответствует траектория 
, переводящая систему из состояния 
в 
, где 
и фиксированы.Требуется найти оптимальное управление u*(t) и соответствующую ему оптимальную траекторию
, для которых 
. Это задача Лагранжа с фиксированным временем и закрепленными концами траекторий: 
, 
.