Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой вм и по 13 февраля 2008 г., протокол №5 Рецензент Кацуба В. С., канд физ мат наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения (стр. 6 из 10)
4. Элементы вариационного исчисления
4.1. Функционалы в линейном нормированном пространстве
Линейным пространством Е называется множество элементов
{x, y, z,….}, в котором определены операции сложения элементов и умножения элемента на число, удовлетворяющие 8 свойствам:
1. x + y = y + x
;2. (x + y) + z = x + (y + z)
;3. λ (mx) = (λm) x
, где λ, m – числа;4. (λ + m) x = λx + mx
, где λ, m – числа;5. λ (x + y) = λx + λу
, где λ – число;6. 1·x = x
;7. существует нулевой элемент
O + x = x ;8. для
существует противоположный элемент 
.Примеры линейных пространств:
• координатное пространство Rn с элементами – n-мерными векторами либо точками;
• пространство матриц размерности
;• Cn[a; b] – пространство функций, непрерывных на промежутке [a; b] вместе со своими производными
.В линейном пространстве вводится понятие нормы элемента.
Нормой элемента
называется число, обозначаемое 
и удовлетворяющее трем условиям:1.
³ 0 и = 0 тогда и только тогда, когда у = О;2.
, где λ – число;3.
, где λ – число.Пример. В пространстве C[a; b] (пространство функций, непрерывных на промежутке [a; b]) норма элемента у может быть введена следующим образом:
.Если каждой функции из некоторого линейного нормированного пространства функций У ставится в соответствие число, то говорят, что на множестве У задан функционал I [y (x)].
Примеры функционалов.
•
– функционал, заданный на пространстве функций, имеющих непрерывные производные на промежутке [a; b], т.е. на C1[a; b];•
– функционал, заданный на пространстве функций, интегрируемых на промежутке [0; 1].Рассмотрим пространство C[a; b] – множество функций (кривых), непрерывных на промежутке [a; b], и функционал I [y (x)], определенный на этом пространстве.
ε-окрестностью кривой
C[a; b] называется совокупность кривых 
C[a; b], таких что 
.Разность
называется вариацией аргумента функционала. Вариация d y (x) есть функция от x и тоже принадлежит функциональному пространству C[a; b].Приращением функционала называется разность DI = I [y(x)] – I [y0(x)], где y0(x) – фиксированная функция, а y (x) – произвольная функция из пространства C[a; b].
Используя вариацию d y (x), можно представить приращение функционала в виде
.Линейным функционалом называется функционал I [y (x)], удовлетворяющий следующим условиям:
1) I [λ y (x)] = λ I [y (x)], где λ – число;
2) I [y1(x) + y2(x)] = I [y1(x)] + I [y2(x)].
Вариацией функционала называется главная часть его приращения, линейная относительно d y (x).
Если приращение функционала можно представить в виде
,где
– линейный функционал относительно d y (x), и функционал 
при 
, то d I [y] = 
– вариация функционала I [y (x)].4.2. Экстремумы функционала
Функционал I [y (x)], определенный на некотором пространстве функций (кривых) достигает на кривой y = y0(x) экстремума, если существует
-окрестность этой кривой, в которой приращение функционала сохраняет знак, причем, если DI = I [y] – I [y0] > 0, то функционал I [y] достигает на кривой y = y0(x) минимума, а если DI < 0, то функционал I [y] достигает на кривой y = y0(x) максимума. Функцию y0(x) называют соответственно точкой минимума или точкой максимума.Теорема. (Необходимое условие локального экстремума).
Если функционал I [y (x)], имеющий вариацию, достигает минимума или максимума на кривой y = y0(x), где y0(x) – внутренняя точка области определения функционала, то при y(х) = y0(x) вариация функционала равна нулю:
d I [y0(x)] = 0. (3)
Функции, удовлетворяющие условию (3), называются экстремалями функционала.
Вариационная задача: среди функций (кривых) y (x), принадлежащих некоторому множеству М, требуется найти кривую y = y*(x), на которой функционал I [y (x)], определенный на множестве М, достигает экстремума, т.е.
.Решение этой задачи заключается в поиске экстремалей, т.е. функций, «подозрительных на экстремум», и в последующей проверке выполнения достаточных условий существования экстремума. На практике, как правило, экстремалей немного, и установить наличие (или отсутствие) на них экстремума функционала удается, исходя из смысла задачи. Следует отметить, что вариационная задача не всегда имеет точное решение, а если решение существует, то оно не всегда единственно.
Рассмотрим пространство M функций y (x), дифференцируемых на отрезке [a; b] и удовлетворяющих граничным условиям:
y(a) = A, y(b) = B, (4)
то есть все кривые проходят через две закрепленные граничные точки.
Пусть на этом пространстве M определен функционал
I [y (x)] =
, (5)где подынтегральная функция
имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.Требуется найти экстремали функционала I [y (x)].
Можно доказать, что, если для функционала (5) выполнено необходимое условие (3), то функция
удовлетворяет уравнению Эйлера: 
(6)Так как
тоже является функцией от 
, то это уравнение можно записать в развернутой форме: 
. (7)При
уравнение Эйлера представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции y (x). Его общее решение зависит от двух произвольных постоянных С1, С2, которые можно найти из граничных условий (4).