Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой вм и по 13 февраля 2008 г., протокол №5 Рецензент Кацуба В. С., канд физ мат наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения (стр. 2 из 10)
Задача 4. Даны функционал I [y(x)] =
и граничные условия для функции y(х): y(a) = A, y(b) = B. Требуется найти экстремали функционала, удовлетворяющие граничным условиям. | Номер варианта | Функционал I [y(x)] | Граничные условия | |
| 1 |  | y(0) = 3 | y(ln2) = 2 |
| 2 |  | y(0) = 0 | y(3) = 2 |
| 3 |  | y(0) = 1 | y(ln2) = –1 |
| 4 |  | y(0) = –0,5 | y(π) = 0,5 |
| 5 |  | y(0) = 0 | y(2) = e |
| 6 |  | y(0) = 1 | y(2) = 5 |
| 7 |  | y(0) = 2 | y(π) = 0 |
| 8 |  | y(0) = 0 | y(1) = –2 |
| 9 |  | y(0) = 0 | |
| 10 |  | y(0) = 2 | y(ln3) = 10 |
= 1
Задача 5. Дана модель объекта управления, описываемая системой дифференциальных уравнений
и граничными условиями 
, 
,где N – номер варианта, t – время (t
[0; b]), 
– фазовый вектор (траектория объекта), u(t) – функция управления объектом.Требуется найти оптимальное управление объектом u*(t) и соответствующую ему оптимальную траекторию
, если задан критерий качества управления: I [u (t)] = 
| Номер варианта | [0; b] | x1(0), x2(0) | x1(b), x2(b) |
| 1 | [0; 3] | x1(0) = 0, x2(0) = 1 | x1(3) = –1, x2(3) = 0 |
| 2 | [0; 4] | x1(0) = 2, x2(0) = 0 | x1(4) = 0, x2(4) = 1 |
| 3 | [0; 2] | x1(0) = 1, x2(0) = 0 | x1(2) = –1, x2(2) = 3 |
| 4 | [0; 3] | x1(0) = 0, x2(0) = –1 | x1(3) = 1, x2(3) = 0 |
| 5 | [0; 4] | x1(0) = 0, x2(0) = –2 | x1(4) = 0, x2(4) = 1 |
| 6 | [0; 2] | x1(0) = 0, x2(0) = 1 | x1(2) = –2, x2(2) = 0 |
| 7 | [0; 1] | x1(0) = –7, x2(0) = 0 | x1(1) = 0, x2(1) = 3 |
| 8 | [0; 2] | x1(0) = 0, x2(0) = 2 | x1(2) = 0, x2(2) = 1 |
| 9 | [0; 1] | x1(0) = –3, x2(0) = 0 | x1(1) = 6, x2(1) = 0 |
| 10 | [0; 2] | x1(0) = 0, x2(0) = 1 | x1(2) = –10, x2(2) = 0 |
Содержание теоретического материала и ссылки на литературу
| № задачи | Содержание (темы) | Литература |
| 1 | Высказывания, их значения истинности. Операции над высказываниями: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Таблицы истинности. Свойства логических операций, порядок их выполнения. Равносильные логические формулы. Алгебра Буля | [1], часть 1, гл. 1, §1-6; часть 2, гл. 1, §1,2, №1.1-1.22, 1.45, 1.46(1,2), 1.48(1-7), 1.50, 1.51; [2], гл. 1, п.1.1.1-1.1.3, задачи 1-6; [3], гл. 16.3 |
| 2 | Функции алгебры логики (булевы функции) и их преставление при помощи логических формул. Приложение алгебры логики: упрощение релейно-контактных схем | [1], гл. 1, §7, 8, 13; часть 2, гл. 1, §3,4, №1.49; [2], гл. 1, п.1.2.1, 1.2.4, зад. 17; [3], гл. 16.4 |
| 3 | Графы. Основные определения: вершины, ребра, кратные ребра. Ориентированные и неориентированные графы. Задание графов. Матрица инцидентности и матрица смежности графа | [2], гл. 4, п.4.1.1, 4.1.4; [6], гл.III, §1-5 |
| 4 | Функционал. Приращение функционала. Вариация функционала. Экстремумы функционала, необходимое условие экстремума. Экстремали функционала. Уравнение Эйлера для функционала вида  | [4], гл. 7, §1-2; [5], гл. II, §3.1, 3.3, 3.6, 4; №71, 72, 75-78; [7], гл.X, № 1281-1285, 1289-1298; [8], гл. 16, №3.1-3.8 |
| 5 | Система управления и ее математическая модель. Оптимальное управление. Гамильтониан. Принцип максимума Понтрягина. Каноническая система уравнений задачи оптимального управления | [9], часть III, гл. 9.1.1-9.1.2, №9.1, 9.3, 9.4 |
Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы.
Справочный материал к выполнению контрольной работы
1. Алгебра логики
1.1. Высказывания и операции над ними
Математическая логика – разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.
Высказыванием называется предложение, к которому можно применить понятия «истинно» или «ложно». Обозначаются высказывания малыми прописными буквами: a, b, х,….
В математической логике не рассматривается смысл высказываний, определяется только их логическое значение – «истина» или «ложь», что принято обозначать соответственно «1» или «0».
Примеры.
1. «Волга впадает в Каспийское море» – высказывание (истинное).
2. «Число 16 кратно 3» – высказывание (ложное).
3. «Может быть, сегодня пойдет снег» – не высказывание.
4. «3х – 5 = 0» – не высказывание.
Истинные и ложные высказывания образуют соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами «и», «или», связками «не», «следует» и др. Таким образом, операции над высказываниями можно описывать при помощи некоторого математического аппарата.
Основные логические операции над высказываниями.
Отрицанием высказывания х называется высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда высказывание х ложно. Отрицание обозначается
или Øх (читается: «не х»).