Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой вм и по 13 февраля 2008 г., протокол №5 Рецензент Кацуба В. С., канд физ мат наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения (стр. 10 из 10)
Отсюда получаем С1 = 1/π, С2 = –1, следовательно, экстремалью функционала является функция
.Ответ.
.Задача 5. Дана модель объекта управления, описываемая системой дифференциальных уравнений
и граничными условиями x1(0) = 0, x2(0) = 3, x1(3) = 2, x2(3) = –1, где t – время (t 
[0; 3]), 
– фазовый вектор (траектория объекта), u(t) – функция управления объектом.Требуется найти оптимальное управление объектом u*(t) и соответствующую ему оптимальную траекторию
, если задан критерий качества управления: 
Решение.
1. Введем вспомогательный вектор
, где 
– неизвестные функции, и построим гамильтониан данной задачи: 
= 
,где функции
– это правые части дифференциальных уравнений 
а 
– подынтегральная функция критерия качества управления 
.По условию задачи
Отсюда получаем
= 
.2. Находим максимум гамильнониана по управлению:
, 
– критическая точка. Вторая производная 
, следовательно, при 
достигается максимум гамильнониана по управлению.3. Составим каноническую систему дифференциальных уравнений, подставив в формулу (8)
и частные производные гамильнониана 
, и решим эту систему. Каноническая система имеет вид: 
Общее решение системы находим последовательным интегрированием:
.Найдем частное решение системы, удовлетворяющее граничным условиям x1(0) = 0, x2(0) = 3, x1(3) = 2, x2(3) = –1.
Из первых двух условий получаем: 
Подставив эти значения в другие два условия 
получаем:
Вычитая из 1-го уравнения 2-е, получаем 
, затем 
Подставив найденные значения констант, получим оптимальную траекторию и оптимальное управление:
Ответы: оптимальная траектория
, где 
; оптимальное управление 
1. Лихтарников Л. М. Математическая логика / Л.М. Лихтарников, Т.Г. Сукачева.– Санкт-Петербург: Лань, 1998.– 288 с.
2. Нефедов В.Н. Курс дискретной математики: учебное пособие. / В.Н. Нефедов, В.А.Осипова – М. Изд-во МАИ, 1992. – 264 с.
3. Баврин, И.И. Основы высшей математики: учебник / И. И. Баврин.– М.: Высш. шк., 2004.– 520 с.
4. Карташев А. П. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. / А. П. Карташев, Б. Л. Рождественский.– М.: Наука, 1986.– 288 с.
5. Краснов М. Л. Вариационное исчисление. / М. Л. Краснов, Г. И. Макаренко, А. И. Киселев.– М.: Наука, 1973.–192 с.
6. Ланина Н. Р. Дискретная математика: учебное пособие. В 2 ч. Ч.1 / Н.Р. Ланина. – Мурманск: Изд-во МГТУ, 1998. – 123 с.
7. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч.2 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Оникс: Мир и образование, 2005.– 416 с.
8. Сборник задач по математике для втузов: специальные курсы. (Ч. 3). Под ред. А. В. Ефимова. / Э. А. Вуколов, А. В. Ефимов, В. Н. Земсков и др.– М.: Наука, 1984.– 608 с.
9. Пантелеев, А.В. Теория управления в примерах и задачах: Учебное пособие / А.В. Пантелеев, А.С. Бортаковский.– М.: Высш. шк., 2003.– 583 с.