Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информати (стр. 8 из 16)
n=1 m=1
; m=2 
;R1=
;n=2 m=1
; m=2 
R2=
.Из решения полученной системы можно получить
a1= -0,05857; a2= 0,007864
Значения температуры при этом в узлах x1=1/3 и x2=2/3 получаются равными
Т1= 0,2894; T2= 0,6091.
Для сравнения в таблице 2.1 приведены результаты решения этой задачи, полученные на основе поточечной коллокации, метода Галеркина (МГ), метода конечных разностей (МКР) и точного решения (ТР) для двух точек отрезка x=1/3 и x=2/3.
Таблица 2.1
Значения температур для х=1/3 и х=2/3 на основе точного решения (ТР), методов коллокации (ПК), Галеркина (МГ) и конечных разностей (МКР)
| X | ПК | МГ | МКР | ТР |
| 1/3 | 0,2914 | 0,2894 | 0,2893 | 0,2889 |
| 2/3 | 0,6165 | 0,6091 | 0,6107 | 0,6102 |
Метод наименьших квадратов
;Таким образом, в методе наименьших квадратов Wn=DNn- отличается от метода Галеркина, в котором Wn=N n.
2.4. Использование в МВН функций, не удовлетворяющих априори краевым условиям
В связи с трудностью подбора аппроксимирующих функций, удовлетворяющих всем краевым условиям, можно потребовать выполнения этих условий приближенно, в рамках метода взвешенных невязок. В частности аппроксимирующую функцию f можно представить в виде
, (2.22)где
не удовлетворяет заранее каким-либо краевым условиям.Для приближенного удовлетворения этих условий к невязке Rv дифференциального уравнения можно добавить невязку краевых условий RГ
(2.23)и потребовать выполнения условий
(2.24)где
- некоторая система весовых функций, выбираемая по аналогии с Wn.Подставляя (2.22) и (2.23) в (2.24) можно получить систему алгебраических уравнений типа (2.21) для определения параметров
. 
; 
; (2.25) 
.Например, для решения рассмотренной выше задачи теплопроводности
с краевыми условиями Т=0 при x=0 и T=1 при x=1 можно использовать систему базисных функций
.В данном случае граничные условия задаются для двух точек x=0 и x=1. При этом условие (2.24) приводится к виду
.Если в качестве весовых функций принять
, то уравнение МВН для рассматриваемой задачи может быть записано 
; 
; 
.
При M=1;
; 
;
R1=-1;
=1/3; 
При M=3;
;N1=1; N2=x; N3=x2;
;
;
;
и т.д.
;
; 
.В результате решения системы
a1=0,068; a2=0,632; a3=0,226
или
.Для сравнения в таблице 2.2 приведены результаты решения задачи для M=1,2 и 3 и точного решения для двух точек отрезка x=0 и x=1.
Таблица 2.2
Значения температур для х=0 и х=1 на основе точного решения (ТР) и приближенных решений при М=1,2,3
| X | M=1 | M=2 | M=3 | TP |
| 0 | 1/3 | -0,095 | 0,068 | 0 |
| 1 | 1/3 | 0,762 | 0,925 | 1 |
2.5. Естественные краевые условия
Рассмотренный выше вариант МВН позволяет избавиться от необходимости подбирать для аппроксимации решений функции, удовлетворяющие краевым условиям. Однако при этом усложняется схема расчета, требуется больше параметров для достижения заданной точности решения, появляется необходимость вычисления интегралов вдоль границ, содержащих производные от искомой функции. Вычисление таких интегралов может оказаться затруднительным, если граничные поверхности криволинейны или имеют особенности.
Для преодоления перечисленных недостатков можно преобразовать первое слагаемое в (2.24) к виду [1]:
(2.26)где
- линейные дифференциальные операторы более низкого порядка, чем D.При подстановке (2.26) в исходное уравнение (2.24) может оказаться, что часть второго слагаемого в (2.24) и последнее слагаемое в (2.26) отличаются лишь весовыми функциями.
Поэтому, выбирая определенным образом весовые функции
, можно добиться, чтобы эти слагаемые (содержащие интегралы от производных функций f по граничной поверхности Г) взаимно уничтожались. Такая ситуация возможна лишь для определенных краевых условий, называемых естественными. Сама же формулировка задачи, основанная на преобразовании (2.26), носит название слабой формулировки МВН.В качестве примера рассмотрим решение задачи теплопроводности.
при краевых условиях
.Аппроксимацию искомой функции примем в виде (2.16)
удовлетворяют условию T=0 при x=0, но не удовлетворяют условию 
.В качестве конкретных значений таких функций можно принять
.Тогда в соответствии с выражением (2.24) уравнение МВН для рассматриваемой задачи примет вид
.Первое слагаемое этого уравнения преобразуем согласно (2.26)
Тогда уравнение МВН приобретет вид
Выберем в качестве весовых функций
