Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информати (стр. 7 из 16)
Метод Галеркина. В качестве весовых функций выбираются базисные функции Wn=Nn. Элементы системы уравнений (2.11) при этом приобретают вид
.Особенностью метода Галеркина является симметричность матрицы [K].
Кроме этого, если в качестве Nm использовать систему ортогональных функций, таких, что
,то матрица [K] становится диагональной.
Например, если на отрезке 0<x<L использовать для аппроксимации систему базисных функций
,то
;
.При этом могут быть сразу найдены коэффициенты
: 
.Такая форма аппроксимации соответствует приближению функций на основе рассмотренных выше рядов Фурье.
Метод моментов.
Весовые функции принимаются в виде
Рис. 2.1. Весовые функции для момента нулевого порядка
- момент нулевого порядка – суммарная площадь(см.рис.2.1) 
- момент первого порядка – момент площадей относительно начала координат; 
- момент второго порядка и т.д.Метод наименьших квадратов.
В методе наименьших квадратов минимизируется интеграл от квадрата невязки функций
по области V. 
.Для нахождения минимума I используется условие стационарности, приводящее к системе уравнений
.Принимая для функции
представление в виде (2.1) и учитывая, что 
, условие стационарности функционала I можно привести к виду 
Полученные уравнения совпадают со стандартной формой метода взвешенных невязок с весами Wn =Nn .В рассматриваемом случае формулировка метода наименьших квадратов совпадает с методом Галеркина.
2.3. Аппроксимация решений дифференциальных уравнений
Рассмотренный выше общий метод аппроксимации функций может быть легко распространен на аппроксимацию решений дифференциальных уравнений.
Рассмотрим дифференциальное уравнение в области V для некоторой функции
, (2.12)где D – линейный дифференциальный оператор, P=P(xi) – заданная функция координат области V.
Решение уравнения (2.12) должно удовлетворять краевым условиям на границе области Г, которые в общем виде могут быть записаны
, (2.13)где G – линейный оператор, а р(Г) – заданная функция координат границы Г.
Например, для рассмотренных выше двумерных задач теплопроводности функции
, 
, а уравнения (2.12) и (2.13) примут вид 
; (2.14) 
(2.15)По аналогии с предыдущим разделом искомую функцию f можно аппроксимировать с помощью базисных функций
, (2.16)
удовлетворяющих краевым условиям на границе области Г
. (2.17)Если функции Nm непрерывны в V и все их производные существуют, то на основе (2.16) можно получить аппроксимации производных функций f
; (2.18) 
.Поскольку представление функции f в виде (2.16) удовлетворяет краевым условиям на Г, для получения аппроксимации f вычислим невязку Rv уравнения (2.12)
. (2.19)Выбирая по аналогии с предыдущим разделом систему весовых функций {Wn; n=1,2,..} потребуем выполнения условия Rv=0 в V в виде
. (2.20)Поскольку Wn, Ψ, Nm и P являются заданными функциями координат, систему уравнений (2.20) можно привести к системе алгебраических уравнений
; 
; (2.21) 
; 
.Если каждая из функций Wn и Nm определена на всем пространстве области V, то в общем случае матрица системы (2.21) оказывается заполненной.
Для получения конкретных значений элементов системы (2.21) необходимо выбрать соответствующие системы базисных Nm и весовых Wn функций, причем от того, насколько удачно выбраны эти функции, будет зависеть качество и общая эффективность численного решения.
Пример.
Рассмотрим пример решения задачи теплопроводности f=T(x) для отрезка
,при краевых условиях
T=0 при x=0 и T=1 при x=1,
или
Gf=T,
=0 при x=0 и p = -1 при x=1.В качестве функции
можно выбрать функцию 
, удовлетворяющую краевым условиям при x=0 и x=1.В качестве базисных функций выберем систему
, удовлетворяющую условиям Nm=0 при x=0 и x=1 для всех m.Тогда предложенная выше комбинация
будет удовлетворять заданным краевым условиям и может быть использована для аппроксимации искомой функции.Рассмотрим два варианта выбора весовых функций Wn при M=2:
- поточечную коллокацию при x1=1/3 и x2=2/3;
- метод Галеркина
;Метод поточечной коллокации.
; 
;n=1 m=1
;m=2
;R1=1/3;
n=2 m=1
;m=2
.В результате решения полученной системы могут быть найдены параметры аm
a1 = -0.05312; a2= 0.004754.
Подставляя полученные значения параметров в приближенное представление функции Т можно вычислить значения температуры в узлах x=1/3 и x=2/3: T1= 0,2914 и T2= 0,6165.
Метод Галеркина.
