Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информати (стр. 6 из 16)
Система базисных функций должна обеспечивать улучшение аппроксимации функции (т.е. сходимость
) при увеличении числа М базисных функций. Для этого комбинация (1.1) должна удовлетворять условиям полноты, т.е. обеспечивать возможность сколь угодно точного представления произвольной функции f, удовлетворяющей условиям на границе 
.Таким образом, для получения хорошей аппроксимации функции с помощью комбинации типа (1.1) необходимо решить следующие вопросы:
- подобрать функцию
, удовлетворяющую условию 
;- выбрать систему базисных функций Nm, удовлетворяющих условиям полноты;
- выбрать способ определения констант
при выбранных базисных функциях Nm.Первый вопрос обычно решается сравнительно просто, поэтому ниже основное внимание будет направлено на вопросы выбора базисных функций и способа вычисления констант.
В настоящее время известен ряд классов функций, которые могут быть использованы в качестве базисных в аппроксимациях типа (2.1).
В частности широко используются базисные функции в виде степенных полиномов, приводящие к аппроксимации функций алгебраическими многочленами вида
, (2.2) 
; 
.Многочлены типа (2.2) хорошо изучены и удобны в использовании: легко вычисляются, без труда дифференцируются и интегрируются.
Для вычисления параметров
может быть использован способ интерполяции, согласно которому искомая функция заменяется аппроксимирующей, совпадающей с искомой в ряде различных точек (узлах интерполяции). При этом параметры интерполяции определяются из решения системы алгебраических уравнений 
;
; 
;или
. (2.3)Эта система однозначно разрешима, если узлы интерполяции попарно различны.
Далее аппроксимацию (2.2) можно привести к виду
; 
; 
.Следует отметить, однако, что на практике такой способ определения параметров
и представления аппроксимации вида (2.2) используется достаточно редко, т.к. функции Nmопределены неявно из решения системы (2.3), которая обычно оказывается плохо обусловленной.В связи с этим более широкое применение находят другие формы аппроксимации функций алгебраическими многочленами, в которых функции Nmопределены в явном виде, например в форме многочленов Лагранжа
, (2.4)где
.Особенностью аппроксимации типа (2.4) является то, что в ней принимается
, а базисные функции обладают свойством
(2.5)
В качестве базисных функций также часто используются тригонометрические функции, приводящие к аппроксимации вида
, (2.6)где
- длина отрезка 
, 
- линейная функция, принимающая на границе отрезка значения 
.На основе теории рядов Фурье коэффициенты этой аппроксимации могут быть получены в виде
. (2.7)Возможны и другие частные способы построения аппроксимаций типа (1.1). При этом существует общий метод определения констант в аппроксимации (1.1), на основе которого можно получить все рассмотренные выше подходы. Этот метод носит название – метод взвешенных невязок [1].
2.2. Основы метода взвешенных невязок
Наиболее общий метод определения параметров
в аппроксимации вида (2.1) можно получить, если ввести невязку аппроксимации Rv 
(2.8)Поскольку Rv представляет собой функцию, зависящую от координат точек области V, для уменьшения величины этой невязки, т.е. для приближения функции
потребуем выполнения условий 
, (2.9)где {Wn; n=1,2,…M} – множество линейно-независимых весовых функций.
Тогда, при условии полноты выбранных весовых функций Wn , сходимость функций
будет достигнута, если потребовать выполнение равенств (2.9) для всех n при 
.Подставляя в (2.9) представление функции
согласно (2.1) можно получить 
или
(2.10)Уравнение (2.10) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, из решения которой могут быть найдены неизвестные константы
. По аналогии с предыдущим разделом эту систему можно записать в матричном виде 
где
, (2.11) 
, 
.Задаваясь различными видами весовых функций на основе (2.10) можно получать различные варианты метода взвешенных невязок.
Ниже рассмотрены некоторые наиболее часто используемые формы представления весовых функций [1].
Коллокация в точке. В этом случае полагается, что
, где 
- дельта функция Дирака, обладающая свойствами 
, 
.При этом
.Иначе говоря, принимается, что Wn=1 в точке xn и Wn =0 нулю во всех других точках.
Согласно такому выбору весовой функции невязка Rv оказывается равной нулю в ряде заданных точек xn, а элементы системы (2.11) принимают вид
.Понятно, что на основе схемы поточечной коллокации могут быть получены различные способы интерполяции функций.
Коллокации по подобластям. В этом методе принимается, что Wn=1 в некоторой подобласти
и W=0 при 
. Иначе говоря, принимается условие, согласно которому интеграл от невязки обращается в ноль для ряда подобластей 
.Элементы системы (2.11) при этом принимают вид
;