Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информати (стр. 5 из 16)
Дифференциальное уравнение изгиба балки
, (1.52)где
- функция поперечного перемещения (прогиба) балки, p - интенсивность поперечной нагрузки, D – жесткость балки на изгиб, l - длина балки.В качестве граничных условий задачи на каждом из торцов балки
могут быть заданы следующие варианты условий:- перемещение W балки на опоре или значение перерезывающей силы
;- угол поворота
или значение изгибающего момента на торце балки 
.По аналогии с задачей теплопроводности, для решения задачи отрезок оси x, на котором ищется функция W(x) разбивается системой равноотстоящих точек на n отрезков с координатами
. Кроме этого для реализации граничных условий на концах балки добавляются еще по одной или по две законтурные точки 
.Для каждого из внутренних узлов сетки составляется конечно-разностный аналог дифференциального уравнения (1.52) с использованием конечно-разностного представления производной четвертого порядка. В типовом узле i такое уравнение будет иметь вид
; (1.53) 
.Аналогичные уравнения записываются и для граничных узлов, если в них значения функций W являются неизвестными.
Уравнения, содержащие известные значения прогибов в граничных узлах, корректируются путем перенесения известных слагаемых в правую часть. Далее осуществляется конечно-разностная аппроксимация граничных условий, записанных в виде производных для функции W. Получающиеся при этом разностные уравнения позволяют определить значения функции W в законтурных узлах, появляющихся при записи уравнений в узлах
.Примеры
Задача 1
Найти решение уравнения
(0< x<1.) при краевых условияхx=0, T0=0; x=1, TL=1.
Используем для решения сетку n=3; шаг сетки
Согласно краевым условиям T0=0., T3=1. Неизвестны T1 и T2Уравнение в точке x=xi имеет вид
Конечно-разностный аналог уравнения в узле i:
Ti+1-2Ti+Ti-1-Ti Δx2=0
Система АУ принимает вид (уравнения составляются в узлах i=1, 2)
-1/9T1+T2=0T1-2T2+T3-1/9T2=0
или
Решение системы: T1=0.2893; T2=0.6107Точное аналитическое решение T1=0.2889; T2=0.6102.
Задача 2
Найти решение уравнения задачи 1 при краевых условиях
x=0; T=0. x=1;
.При использовании рассмотренной выше конечно-разностной сетки в задаче известны T0=0, неизвестны T1, T2, T3.
Конечно-разностные уравнения для узлов i=1 и 2 остаются без изменения. Для узла i=3 составим уравнение для потока с использованием разности назад (погрешность аппроксимации. 0(Δx)): (T2-T3)/(1/3)=1.
Результирующая система АУ примет вид
Точное аналитическое решение T1=0.220, T2=0.4648, T3=0.7616.
Задача 3
Найти решение задачи 1 при краевых условиях задачи 2 с использованием конечно-разностной аппроксимации с погрешностью 0(Δx)2.
Первые два конечно-разностных уравнения остаются такими же, как в примере 2.
Добавляются уравнения в узле i=3:
=0 (T4 – значение температуры в законтурной точке)и уравнение для потока в узле i=3 с использованием производной в центральных разностях (погрешность аппроксимации 0(Δx)2)
Результирующая система АУ принимает вид
Результаты получаются более точными, но нарушается симметрия матрицы.
Задача 4
Вычислить функцию прогиба W(x) балки длиной l=1 м., жестко заделанной по торцу x=0 и опертой на непроседающую опору по торцу x=l , находящейся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки p и опорного момента
. Жесткость балки на изгиб 
; p=1 н/м; 
Дифференциальное уравнение изгиба балки
Граничные условия
Схема дискретизации
Конечно-разностный аналог уравнения изгиба для внутреннего (i-го) узла можно представить в виде
; 
Конечно-разностные уравнения на левой опоре x=0:
в узле “0” уравнение не составляется 
.Конечно-разностные уравнения на правой опоре x=l:
; в узле n уравнение не составляется 
; 
, 
.или
.Результирующая система имеет вид
Неизвестные функции
Общее число неизвестных
2. Метод взвешенных невязок с использованием базисных функций
2.1. Аппроксимация функций с использованием систем базисных функций
Рассмотренный выше метод конечных разностей позволяет свести решение дифференциальных уравнений для непрерывных функций к численному решению системы алгебраических уравнений путем разностной аппроксимации производных в узлах сеточной области. В результате решения такой задачи удается определить значения искомой функции в конечном числе точек.
Однако существует много других способов аппроксимации функций, которые могут быть использованы для численного решения дифференциальных уравнений. В частности широкое распространение получили методы, основанные на применении базисных функций, определенных на всей области решения поставленной задачи [1].
Пусть требуется аппроксимировать заданную функцию f в области V, ограниченной поверхностью Г и принимающую на этой поверхности заданные значения
.С этой целью введем функцию
, удовлетворяющую условию 
, а также систему линейно-независимых базисных функций 
, удовлетворяющих на граничной поверхности Г условиям 
для всех m.Тогда аппроксимацию функции f можно представить в виде
, (2.1)где
(m=1,2…M) - некоторые константы, определяемые из условия наилучшего приближения функции 
.