Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информати (стр. 4 из 16)
(V –отрезок оси x 
, L – длина отрезка)и (или)
(1.30)1.3. Конечно-разностные аппроксимации производных
Среди численных методов решения задач математической физики широкое применение находят разностные методы. При использовании этих методов рассматриваемая область аппроксимируется сеточной областью, а значения производных искомых функций заменяются разностными отношениями через значения этих функций в узлах сетки. Далее для каждого узла сеточной области составляются соответствующие разностные аналоги исходных функциональных уравнений, составляются разностные аналоги заданных граничных условий и задача сводится к решению системы алгебраических уравнений.
Для построения простейших разностных аппроксимаций функций в одномерном случае запишем выражение для функции f(x) в малой окрестности x+Δx с помощью разложения ее в ряд Тейлора
(1.31)Пусть функция f(x) задана в виде таблицы
, 
.Тогда, ограничиваясь двумя членами разложения, можно записать
,где
или
(1.32)Погрешность этой формулы имеет порядок
.Такое представление производной носит название аппроксимации первой производной разностью вперед.
Аналогичное выражение можно получить для аппроксимации производной разностью назад
(1.33)Для получения более точных формул можно представить выражение для функций в узлах i-1 и i+1 в виде
, 
(1.34) 
, 
(1.35)Вычитая эти равенства одно из другого можно получить
. (1.36)Погрешность E этой аппроксимации определяется
.Удерживая в выражениях (1.34), (1.35) слагаемые, содержащие
и складывая результаты можно получить разностное выражение для второй производной 
, (1.37)где
.Подобным образом можно построить разностные выражения для производных высших порядков
; (1.38) 
. (1.39)Аналогичная техника может быть использована для построения разностных аппроксимаций частных производных в двумерном и пространственном случаях. В частности на двумерной сетке в окрестности узла с индексами i, k частные производные второго порядка функции f(x,y) могут быть записаны в виде:
; (1.40) 
; (1.41) 
. (1.42)1.4. Решение одномерных задач методом конечных разностей
В качестве примера решения методом конечных разностей (МКР) одномерных уравнений второго порядка рассмотрим решение задачи теплопроводности в одномерном случае.
Пусть требуется определить функцию T(x), удовлетворяющую дифференциальному уравнению
на отрезке 0<x<L.Граничные условия задачи соответствуют заданию на каждом конце отрезка температуры
или потока 
.Для решения задачи МКР отрезок, на котором ищется функция, разбивается определенным числом равностоящих точек с координатами
. При этом 
.Далее для всех внутренних точек сетки составляется конечно-разностный аналог исходного дифференциального уравнения на основе применения полученных выше формул конечно-разностного представления второй производной. В типичном узле
это уравнение будет иметь вид 
. (1.43)Если на обоих краях отрезка заданы значения температуры
, то в первом и последнем узлах уравнения не составляются, а во втором и предпоследнем уравнениях известные значения температуры переносятся в правую часть. 
В результате получается система L-1 алгебраических уравнений (АУ) относительно L-1 неизвестных значений
в узлах сеточной области 
(1.44)В матричном представлении полученную систему уравнений можно записать в виде
, (1.45)где
- вектор неизвестных узловых значений температур 
,[K] – матрица системы
(1.46){R} – вектор правых частей системы
(1.47)Следует отметить, что матрица [K] получается симметричной и узколенточной (трехдиагональной).
Таким образом, исходная задача определения неизвестных непрерывных функций заменяется задачей решения системы АУ относительно дискретных значений T1 . . .TL-1. Иначе говоря, МКР дает информацию о значениях функций в узлах сеточной области, но не дает информации о значениях функций между точками, т.е. дифференциальное уравнение аппроксимируется только в конечном числе точек.
Рассмотрим также случай, при котором на одном из концов отрезка (например, при x=L) задан поток тепла
при x=L. (1.48)При этом, поскольку значение температуры TL оказывается неизвестным для определения всех узловых температур к системе (1.44) необходимо добавить еще одно уравнение. Такое уравнение можно получить, записав в конечных разностях уравнение (1.48) в узле x=L.
Если аппроксимировать производную разностью назад, то уравнение (1.48) примет вид
(1.49)Добавляя уравнение (1.49) к системе (1.44) получим систему L уравнений, необходимых для определения L неизвестных значений температур.
(1.50)Полученная таким образом система обладает существенным недостатком, связанным с различным порядком аппроксимации решения внутри области
и на границе 
.Этого недостатка можно избежать, если добавить к системе (1.44) уравнение (1.43) в узле x=L и использовать для условия (1.48) аппроксимацию производной в центральных разностях. В результате система алгебраических уравнений примет вид
(1.51)где TL+1 – значение температуры в законтурной точке.
В качестве примера решения МКР уравнений четвертого порядка рассмотрим задачу изгиба балки, нагруженной равномерно распределенной по длине поперечной нагрузкой.