Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информати (стр. 3 из 16)
, (1.8)где
- модуль объемной деформации, 
- коэффициент поперечной деформации.В матричной форме соотношения (1.6) могут быть записаны в виде
, (1.9)где
- вектор компонент тензора напряжений (содержащий 6 независимых компонент)
. (1.10) 
- матрица коэффициентов упругости материала, составленная из коэффициентов 
. Для упругого изотропного материала эта матрица имеет вид
(1.11)Напряжения в теле, находящемся в равновесии под действием сил
, и граничных смещений 
, должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия в объеме тела V: 
(1.12)и уравнениям равновесия на части границы
, 
, (1.13)где
- направляющие косинусы нормали к поверхности границы .В матричной форме эти уравнения могут быть переписаны в виде
, (1.14) 
, (1.15)где
- матричный дифференциальный оператор, определенный соотношением (1.5), {F} и {P} - векторы объемных и поверхностных сил 
(1.16) 
- матрица направляющих косинусов нормали к поверхности 
(1.17)Приведенные уравнения (кинематические (1.1) − (1.3), физические (1.6) − (1.11) и статические (1.12) − (1.17)) составляют полный комплект уравнений, статических задач линейной теории упругости.
При непосредственном решении таких задач приведенные уравнения обычно преобразуются к некоторому виду разрешающих уравнений, в которых в качестве основных неизвестных фигурируют поля какого-либо одного типа, например, напряжений
или перемещений 
.В частности для решения задач в перемещениях в уравнениях (1.12) и (1.13) напряжения
выражаются через перемещения с помощью соотношений (1.2) и (1.6). 
(1.18)где
. (1.19)В результате решение задачи теории упругости сводится к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка относительно функций перемещений
при граничных условиях, заданных на частях поверхности 
и 
(1.20) 
, (1.21)где
- единичная матрица.1.2. Уравнения теплопроводности
Рассмотрим закономерности распределения температуры T в теле, занимающем объем V, ограниченный поверхностью
.Баланс тепла
в единичном объеме за единицу времени соответствует дифференциальному уравнению 
, (i=1-3), (1.22)где qi – поток тепла в направлении xi на единицу длины за единицу времени, Q=Q(xi,t) – тепло, генерируемое в элементарном объеме за единицу времени (источник тепла),
- изменение тепла за счет изменения температуры T=T(xi,t), 
, c – плотность и теплоемкость материала.В свою очередь поток тепла в изотропной среде в произвольном направлении n связан с изменением температуры T соотношением
, (1.23)где k – коэффициент теплопроводности материала.
Записывая выражения для потоков тепла в направлениях xi (
) можно привести уравнение баланса (1.22) к виду 
. (1.24)Уравнение (1.24) описывает задачи распределения температур в пространственно-временной области, характеризуемой независимыми переменными xi, t. Для решения задач нестационарной теплопроводности к уравнению (1.24) необходимо добавить начальные условия, характеризующие распределение температуры в некоторый начальный момент времени
и граничные условия на границе области , которые сводятся к двум основным типам:- заданию температуры
на части границы 
(1.25)- заданию потока
на части 
в направлении нормали к границе n
. (1.26)В случае установившихся процессов теплопроводности распределение температур перестает зависеть от времени и уравнение (1.24) упрощается
, (1.27)где T=T(xi), Q=Q(xi).
Решение уравнения (1.27) стационарной теплопроводности требует задания лишь граничных условий типа (1.25) и (1.26).
Формальную запись совокупности уравнений, описывающих стационарную задачу теплопроводности, можно представить в виде:
В общем случае задача теплопроводности (1.25) - (1.27) является нелинейной, так как коэффициент теплопроводности k может зависеть от температуры. Если такая зависимость отсутствует и k=const, то уравнение (1.27) становится линейным
. (1.28)При исследовании процессов теплопроводности в двумерной постановке
уравнения (1.25), (1.26), (1.28) приобретают вид 
(V – двумерная область, занимаемая телом), 
(1.29)
( 
- части контура области V).В одномерном случае
аналогичные уравнения сводятся к выражениям