Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информати (стр. 16 из 16)

Применение изопараметрической технологии позволяет также устранить недостатки произвольных четырехугольных и шестигранных элементов, для которых при построении базисных функций в обобщенных координатах нарушались условия непрерывности функций вдоль границ элементов.

В то же время непосредственная реализация изопараметрических элементов требует решения ряда дополнительных вопросов, которые не возникли при использовании рассмотренных ранее “простых элементов”.

В частности при построении матриц жесткости изопараметрических конечных элементов для вычисления производных от функций по глобальным координатам приходится обращать матрицу [J], связывающую глобальную систему координат

с локальной системой . Поскольку компоненты этой матрицы в элементе являются функциями локальных координат, осуществить обращение этой матрицы в явном виде в большинстве случаев не представляется возможным. В связи с этим при вычислении жесткостных характеристик изопараметрических элементов обычно используют численное интегрирование, сводящее вычисление интеграла в некоторой области к вычислению значений подынтегральных выражений в фиксированных точках этой области, для которых получение значений матрицы [J] и ее обратной матрицы не составляет труда.

Кроме этого при использовании изопараметрических элементов определенные трудности возникают при интегрировании функций по элементам, ограниченным криволинейными поверхностями.

В соответствии с (3.25) вычисление ее коэффициентов матрицы жесткости элемента сводится к интегрированию матрицы

. (4.23)

Элементарный объем в криволинейных координатах преобразуется по известной формуле

. (4.24)

Если криволинейные координаты являются нормализованными координатами, рассмотренными ранее в разделе 4.3, то интеграл (4.23) может быть записан в виде

. (4.25)

Интегрирование здесь осуществляется по объему куба, а не искривленной призмы, поэтому пределы интегрирования записываются просто. Для одномерных и двумерных элементов получаются интегралы по одной и двум переменным соответственно с простыми пределами интегрирования.

Как отмечалось выше, в связи с необходимостью обращения матрицы преобразования

, выражения для коэффициентов матрицы оказываются весьма сложными, и получить их в явном виде не представляется возможным за исключением некоторых простейших элементов. Поэтому в большинстве случаев построение матрицы жесткости изопараметрических элементов осуществляется с помощью численного интегрирования.

При выборе метода интегрирования в МКЭ принимают во внимание необходимость получения возможно более высокой точности результата при минимальном числе внутренних точек, т.к. вычисление подынтегральных функций связано со значительными затратами машинного времени. Поэтому в большинстве случаев при выполнении численного интегрирования в МКЭ используются квадратурные формулы Гаусса.

Интеграл от одномерной функции

в нормализованных координатах, согласно формуле Гаусса, может быть представлен в виде

, (4.26)

где

- весовые коэффициенты, значения которых зависят от числа точек интегрирования . Формула Гаусса позволяет точно вычислить интеграл от полинома степени 2n-1, где n - число точек интегрирования. Положения точек Гаусса и соответствующие значения весовых коэффициентов для нескольких значений n приводятся ниже

(4.27)

При вычислении интегралов по двум и трем переменным, формулы интегрирования по схеме Гаусса имеют вид

, (4.28)

,

где

- количество точек интегрирования по каждому из направлений.

Координаты

и весовые коэффициенты совпадают с соответствующими значениями для одномерного случая.

При использовании численного интегрирования для вычисления матриц жесткости элементов возникает вопрос о допустимой точности интегрирования или о выборе точек интегрирования. Точность интегрирования будет тем выше, чем больше этих точек, но с увеличением их числа возрастает трудоемкость решения и, кроме того, некоторое нарушение точности интегрирования в ряде случаев [2,4] позволяет значительно повысить точность получаемых результатов. Поэтому, очевидно, следует говорить о минимальном числе точек, обеспечивающих точное интегрирование всех членов энергии деформации и числе точек, обеспечивающих минимально допустимый порядок интегрирования.

В первом случае порядок интегрирования легко установить, оценив максимальный порядок полиномов, входящих в выражение энергии деформации элемента. В частности, для рассмотренных выше элементов сирендипова и лагранжева семейств для точного интегрирования требуется следующее количество точек n вдоль каждого направления, в зависимости от порядка элемента P

P = 1; n = 2,

P = 2; n = 3,

P = 3; n = 4. (4.29)

Минимально допустимый порядок интегрирования определяется требованием, чтобы точно вычислялся объем конечного элемента [2,3], определяемый выражением (4.24). Использование более низкого порядка интегрирования может привести к нарушению сходимости решения по мере сгущения сетки элементов. В случае изопараметрических элементов, входящий в выражение (4.24) det J представляет собой полином от локальных координат

, порядок которого легко установить, зная функции формы элемента. В частности, для рассмотренных элементов минимально допустимое число точек будет таким

P = 1; n = 1,

P = 2; n = 2, (4.30)

P = 3; n = 3.

При определении минимально допустимого порядка интегрирования следует также иметь в виду, что, согласно имеющимся исследованиям [6], максимальная скорость сходимости конечно-элементных решений сохраняется при точном интегрировании всех членов энергии деформации, соответствующих полному полиному наивысшего порядка, представленному в функции формы элемента. Минимально допустимое число точек согласно этому условию для рассмотренных выше элементов совпадает с (4.30).

Литература

1. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. 318 с.

2. Капустин С.А. Метод конечных элементов в задачах механики деформируемых тел. Учебное пособие. Н.Новгород, 2002. 180 с.

3. Зенкевич О.К. Метод конечных элементов в технике. M.:Мир,1975. 544 с.

4. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. M.:Мир, 1977. 349 с.

5. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981. 304с

6. Fried I. Numerical Integration in the Finite Element Method //Int. J.Comput. and Struct. 1974. V.4, N 5, p.921-932.