Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информати (стр. 15 из 16)

Функции формы элементов второго порядка могут быть определены следующими выражениями:

- угловые узлы:

; (4.15)

- на сторонах:

Функции формы элементов сирендипова семейства удовлетворяют условиям непрерывности вдоль граней и сторон элемента и условиям геометрической изотропии и также представляют функции в элементе в виде неполных полиномов порядка p+1 (где p - порядок полинома вдоль сторон элемента). Однако в отличие от лагранжевых элементов они не содержат членов более высокого порядка. В частности, характеристический полином для сирендипова элемента второго порядка будет содержать лишь первые восемь членов в выражении (4.14).

4.6. Треугольные элементы

Одним из существенных недостатков рассмотренных выше четырехугольных и шестигранных элементов является невозможность построения для них базисных функций, соответствующих представлению функции в виде полного полинома соответствующего порядка. Для треугольных и тетраэдральных элементов построение координатных функций в виде полных полиномов не вызывает каких-либо затруднений [2,3,5].

Действительно, рассмотрим семейство конечных элементов, полученных в результате деления сторон треугольника на m равных частей при последовательном увеличении m, начиная от m=1. Каждому уровню такого разделения соответствует элемент порядка m, имеющий узлы на пересечении сторон треугольника и линий, соединяющих точки деления сторон (см. рис. 4.7). Общее число таких узлов

точно равно числу неопределенных параметров в полном полиноме степени m.

Рис. 4.7. Схема иерархии треугольных конечных элементов

При этом проблемы непрерывности функций вдоль границ таких элементов не возникает, так как на каждой стороне всегда имеется необходимое число узлов для однозначного определения функции на стороне.

Если обозначить номера узлов элемента в соответствии с рис. 4.8, то функции формы элемента порядка m в треугольных локальных координатах

могут быть получены на основе соотношения

, (4.16)

(4.17)

Рис. 4.8. Схема нумерации узлов треугольных элементов различных порядков

Для элементов первого порядка (m=1) функции формы совпадают с L координатами

. (4.18)

Связь L координат с глобальными координатами X и Y осуществляется на основе соотношения (4.7).

Для элементов второго порядка (m=2) функции формы элемента принимают следующий вид:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4.19)

Аналогичным образом, на основе соотношений (4.17) могут быть получены функции формы для элементов более высоких порядков.

При вычислении матриц жесткости и внутренних характеристик элементов, функции, формы которых записаны в L координатах, приходится вычислять производные от различных выражений по глобальным координатам и интегрировать их по элементу. Дифференцирование таких выражений производится на основе обычных правил дифференцирования сложных функций. Например, в квадратичном элементе

и т.д.

При интегрировании по площади треугольника

величин, зависящих от L координат, может быть использовано следующее соотношение [5]

(4.20)

Все приведенные выше соотношения для треугольных элементов легко распространяются на пространственные элементы в виде тетраэдров.

4.7. Изопараметрические элементы и численное интегрирование

При формулировке рассмотренных в предыдущих разделах конечных элементов предполагалось, что их форма образована пересечением прямолинейных отрезков, или плоских поверхностей. Такие «простые» элементы позволяют точно аппроксимировать геометрию областей, ограниченных прямолинейными границами или плоскими гранями. При этом точность получаемых решений будет, в основном, определяться погрешностями математической дискретизации исходной задачи, связанными с качеством аппроксимаци искомых функций. Однако при решении реальных задач часто приходится иметь дело с областями, имеющими криволинейные границы.

Применение для аппроксимации криволинейных границ рассмотренных «простых» элементов может привести к значительному снижению точности получаемых решений за счет дополнительных погрешностей геометрической дискретизации и потребует существенно увеличить число используемых конечных элементов. Альтернативным выходом из создавшейся ситуации может служить применение конечных элементов, имеющих искривленную форму границ. При этом могут быть существенно снижены порядок разрешающей системы уравнений и общая трудоемкость решения задачи.

Среди множества различных методов построения криволинейных элементов в настоящее время наибольшее распространение получил метод, основанный на отображении регулярных элементов, имеющих прямолинейные стороны, ребра и грани в локальной системе координат, на порождаемые криволинейные элементы в глобальной декартовой системе [2]. При этом для установления однозначного соответствия между локальной и глобальной системами координат используются функции формы, подобные тем, которые применяются для аппроксимации в элементах неизвестных функций.

Идея использования функций формы для введения криволинейных координат принадлежит Тайгу, а ее развитие для широкого класса различных элементов связано с именами Айронса и Зенкевича. Отображение из локальной системы координат

в декартову x,y,z осуществляется посредством соотношений (см. рис.3.9)

(4.21)

где

- функции формы элемента, являющиеся функциями локальных координат

- декартовы координаты базовых узлов элемента, m - число базовых узлов.

При этом функции формы

для описания геометрии элемента и число базовых узлов могут отличаться от аналогичных величин, используемых для аппроксимации искомой функции.

Например, в локальной системе координат изменение функции в этом же элементе может быть записано в виде

(4.22)

Если порядок функции

выше, чем порядок

(соответственно m >n), то элемент носит название "суперпараметрический", если наоборот, то элемент - "субпараметрический". Чаще всего порядок функций и сами функции

принимаются одинаковыми (m=n), и такие элементы носят название "изопараметрических".

Вообще говоря, для всех перечисленных типов элементов, которые для краткости будем называть просто изопараметрическими, наряду с традиционным требованием непрерывности функций дополнительно возникают требования геометрической совместности элементов. Иначе говоря, при отображениях в сетке криволинейных элементов не должно возникать щелей между элементами. Как показано в [2], для выполнения перечисленных условий необходимо, чтобы им удовлетворяли соответствующие функции формы в локальной порождающей системе координат. Рассмотренные выше функции формы лагранжева и сирендипова семейства позволяют удовлетворить всем необходимым условиям непрерывности вдоль границ элементов.